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Équation d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction

Transcription de la vidéo

on te donne à cette fonction fgx est égale à e puissance et xixe par deux + x cube et on te demande l'équation de la tangente de la courbe de f au point d'absys x est égal à 1 je vais appeler cette tangente t la droite et je sais que la droite et est là pour équation y est égal à f prime de 1 ça c'est le coefficient directeur de tdf prime de 1 x x plus une ordonné à l'origine que je vais trouver brasse donc je vais d'abord trouver le le coefficient directeur f trip 2 1 ça je sais comment le faire et ensuite une fois que j'ai trouvé ce prime de 1 je sais que le point p de coordonner un f2 1 et f 2 1 ça fait quoi c'est assez facile à trouver de puissance un / de +1 donc e divisé par trois je sais que ce point appartient à thé et grâce à cette information là je vais réussir à trouver leurs données à l'origine alors d'abord le challenge c'est de trouver f prime de 1 et pour trouver f prime de 1 je vais d'abord trouver l'expression de leurs primes de x de manière générale et là je pourrais utiliser la formule du produit en manipulant un peu f avant mais on va s'entraîner sur la formule du du quotient et tu sais que lorsque tu as une tu as le la division 2 de fonction le quotient de deux fonctions et bien la dérive et de 7,2 cette fonction donc la dérive et de l'ue sur v c'est égal à une prime v - uv prime / v carré et là je vais utiliser cette formule donc on a deux puissances x qui est la dérive et de puissance x fois de plus x cube moins de puissance x fois la dérive et deux de plus x cube donc la dérive et de plus x cube c'est tout simplement 3x au carré car la dérive et 2 c zéro et la dérivée du x cube ces 3 x car est divisé par deux + x cube au carré très bien donc maintenant on va déjà on va exprimer on va un peu simplifié cette expression on a quoi on a 2 e puissance x + x cube à la puissance x oui je peux factoriser le tout par de puissants 6 en haut ça me donnerait quelque chose un peu plus simple donc j'ai x cube - 3 x carré plus de voilà tout une factorisation par de puissants 6 en haut et en bas je vais garder je vais garder pareil de toute façon on a envie d'évaluer f prime de 1 et ça doit pas être trop compliqué avec cette expression f prime de 1 est égale à e puissance un fois alors 1 occupe ça fait 1 - 3 x 1 au carré donc moins 3 + 2 / de plus 1 occupe un au carré et là on remarque en haut on a 1 - 3 + 2 donc ça fait ça fait 0 f prime de 1 est égal à zéro ça veut dire quoi d'avoir une un coefficient directeur de zéro et moi ça veut dire que j'ai une droite horizontale j'ai une droite dont l'équation ressemble à y est égal à bay hill vrac est égal à b le coefficient directeur est égal à à zéro donc ça c'est l'équation d'une droite horizontale et quel est ce cette ordonné à l'origine des enfin cette valeur que prend y pour tous les points qui sont qui sont sur la droite il s'agit 2e sur trois parce qu'on sait que la droite passe par ce point p de coordonner un e sur trois et six y est égal à eux sur trois pour un point qui est sûre la sur la droite et est bien y est égal à eux sur trois partout sur la droite et donc voilà la réponse finale la droite théa pour équation la tangente à pour équation y était à eux sur trois et voilà la réponse finale que je vais vérifier quand même avec la calculatrice pour m'assurer que j'ai obtenu la bonne réponse et voici ma tei 84 dans laquelle je vais rentrer la fonction e puissance x / de plus icsa au cube et je m'intéresse à cette fonction autour de 1 donc on va aller entre 0 et 2 entre 0 et 2 et a priori elle devrait elle devra avoir une tangente horizontale en 1 est une valeur de 2 / 3 ça fait à peu près quelque part autour de 1 donc je veux aussi m y entre 0 et 2 il a on aura un beau zoom sur l'endroit de la fonction qui nous intéresse donc allons-y traçons cette droite et effectivement il semble déjà à première vue que en x est égal à 1 on a une dérive et qui égale à zéro donc on a une tangente horizontal et ça on peut le vérifier en allant dans calc en sélectionnant des y bx qui veut dire la dérive est au point x est égal à 1 donc là je dois sûrement rentrer la valeur 1 faire enter oui et là on me dit que la dérive et et 3 0 x 10 à la puissance -7 donc là on l'a en fait c'est une approximation de la calculatrice mais elle utilise une méthode numérique pour le faire donc elle donne pas une valeur exacte mais c'est tellement proches de zéro que oui on peut se rassurer qu'on a la con à la bonne réponse la dérive est bien égale à zéro on a une tangente horizontal et revenons donc sur la valeur lorsque x est égal à 1 on a y est égal à 0 906 alors est ce que c'est bien eux divisés par 3 0 906 on va vérifier ça a eu à la puissance 1 donc tout simplement eu que je divise par trois oui c'est bien égal environ 1 0 906 donc on a trouvé la bonne réponse l'équation de la tangente et bien y égal à eux sur trois