Les points critiques d'une fonction

le but de cette vidéo et dénoncer toutes les conditions nécessaires pour identifier un extrait même local d'une fonction donc soit un minimum soit un maximum locale d'une fonction alors qu'est ce qu'on entend d'abord par un maximum au minimum local extrême local là on en identifie deux assez évident en mx1 ici en verre et en x2 ici en bleu on a respectivement un maximum local et un minimum local et comment est ce qu'on fait pour caractériser sa mathématiquement en fait on dit qu'on peut créer un intervalle et on peut le rendre aussi petit que l'on veut autour de x1 tels que f2 x1 est supérieur à toutes les valeurs dans le voisinage de x1 et dans ce cas là on a un maximum locales et de manière similaire je peux créer un intervalle j'arrive à trouver un intervalle et que je peux le rendre aussi petit que je veux autour de x2 et on voit que dans le voisinage de x de f ii x2 c'est la valeur minimum de de toutes les valeurs que f peut prendre dans ce petit intervalle est donc là on a un minimum local donc voilà les conditions dont on a besoin pour avoir un maximum ou un minimum local et du coup on voit on voit que ici en x3 on a aussi on a aussi un maximum locale car cette console car cette condition est vérifiée alors ensuite comment est ce que on trouve une méthode en fait et on donne les toutes les conditions nécessaires pour caractériser un un extrait même local dont quelques cales sont les propriétés d'un extrême locales et on va en particulier faire le lien avec la dérivée de la fonction en ces trois points là donc là on voit que la dérive et en os x 1 et en x2 est égal à zéro car là le coefficient directeur de la tangente est égal à zéro car la tangente et horizontale la tangente en ces points là donc et film lui ici on af primes de x 1 qui est égal à zéro et on a f prime ii x2 qui est égal à zéro donc il semble que lorsque f prime est égal à lorsque la dérive et est égal à zéro on a on a trouvé un extrême hommes locale mais attention ce n'est pas toujours le cas ici par exemple on a un maximum locales et la tangente n'existe pas car je peux je peux tracé autant de droite que je veux qu'ils passent par ce point sans percer la courbe de f et vu qu'il ya une infinité de droite possible ça veut dire qu' il n'y a pas de une tangente unique en ce en ce point là et ici on dit que du coup f et non des rives abl f et non des rives à bhl en x3 donc il semble en tout cas que là on a couvert tous les cas possibles pour le minimum ou le maximum locale d'une fonction il semble que si on se place à un point dap 6 6 0 on a f 2 x 0 qui a un extrême locales 6 f primes de x 0 est égal à zéro donc soit lorsqu'on a une tangente horizontale soit lorsque f et non des rives abl nom dérive à bhl en exerçant donc voilà une des deux conditions qui peuvent s'appliquer qu'ils sont et ce à cette condition de et est nécessaire mais tu verras qu'elle n'est pas suffisante on va étudier quelques quelques cas pour voir que ce n'est pas suffisant alors ici on a deux points où il se passe quelque chose d'intéressant on a ces epci cela qu'ils sont x4 et x5 et en x est égal à x 4 x 1 qu'est ce qui se passe alors ici on a la courbe qui n'est pas lisse il ya une c'est comme un x3 ici on a une pointe et lorsque ça ça ça arrive eh ben ça veut dire que f et non des rives à bhl pour cette valeur de x donc ici on aef qui est non dérive à bhl est ici on a on af primes de x 5 qui est égal à zéro parce que la tangente et horizontale on voit que on peut avoir une dérive et qui est instantanément égal à zéro ici et pourtant on n'a pas atteint un minimum local ici on continue de décroître donc donc on n'a pas vérifié la condition de base qui décrit un minimum local ok alors qu'est ce qui s'est passé ici on a pourtant vérifier la condition 2 danser dans ces deux cas là ici la dérive et nuls est ici af n'est pas dérive abl alors par contre ce qu'on n'a pas vérifié c'est quoi cette cette condition que je vais placer en 3 qu'on n'a pas vérifié ici et bien en fait la dérive et est restée négative tout le long on voit que la la courbe de f et décroissante ici ici et ici sur tout c'est sûr toutes ces parties et donc f prime est restée négative eh bien il faut que f prime change de signe change de signe en exerçant ça veut dire que juste avant x 0 f prime à un signe par exemple ici juste avant x 1 f prime était positive et juste après x 1 elle est négative donc en fait un x 1,1 à la dérive et a soudainement changé de signes enfin elle est passée par une valeur nulle et ensuite à la changer de signes et pareil pour x2 ici n'est guette la dérive est négative avant x2 la dérive nuls en x 2 et la dérive est positive après x 2 et dans le cas de x3 la dérive et est positive à long x 3 ensuite la dérive et non définie en x3 et ensuite la dérive et est négative après x3 donc voilà il faut que la dérive et change de signe en ce xxi qui nous intéresse ok après je t'ai donné quelques cas un peu un peu farfelu qui montre que on peut réunir les conditions 2 et 3 et pourtant et pourtant on n'est toujours pas à voir un extrait même local par exemple par exemple ici en x 6 x 6 g la dérive est qui qui est négative avant ixis est positive après x is f et non des rives à bhl en ixis ici il n'ya pas de temps jean que je puisse que je puisse tracer un x6 et c'est normal parce que f n'est même pas défini un x6 ici on a un trou c'est à dire que f est définie juste avant et juste après x6 mais f n'est pas défini un x6 donc il faut que f soit défini en x en 6-0 pour nos conditions générales ici f est défini en exergue et tu verras que c'est pas suffisant parce que ici dans le cas de xmf est défini dans le cas de xmf est définie mais on n'a pas atteint un maximum locale alors ce qui est intéressant ici c'est qu'on a atteint un maximum global le maximum global de la fonction car toutes les valeurs de la fonction sont inférieures ou égales à cette valeur-là de fgx est mais par contre ce n'est pas un extrême hommes locale pourquoi parce que je ne peux pas très un intervalle autour de x est où toute la fonction est définie et où cette valeur serait là maximum dans le voisinage de cette fonction car le voisinage n'existe même pas on a un voisinage qui existe à gauche mais pas à droite et bien il faut que le voisinage il existe autour de ceux de cette valeur donc il nous faut encore une condition est fait non seulement défini en x 0 mais aussi est aussi au voisinage ce n'est pas la manière la plus rigoureuse de noter mathématiquement mais là c'est pour que tu comprennes donc f est défini en 0 et au voisinage de higgs 0 il faut que ça existe il faut que la fonction existe à droite et à gauche de de la valeur de x à laquelle on s'intéresse et donc pareil ici en x8 on a la fonction qui est défini à droite mais pas à gauche ici on a un comportement asymptotique de la fonction x9 donc la fonction est définie juste à gauche et juste à droite de la fonction mais en x 9 x 9 la fonction n'est pas défini donc on ne remplit pas la condition la condition et pareil si on a un dernier cas un x10 ou la fonction est définie avant et après on remplit les conditions 2 et 3 mai par contre en x 10 6 si on a un trou on a la fonction qui n'est pas défini en x10 et voilà j'espère que cette vidéo t'a permis de voir un peu tous les cas possibles auxquelles on peut se confronter et du coup les trois conditions qu'on doit vérifier pour avoir un extrême locale alors très souvent la condition 1 va être va être rempli par ce qu'on a tu vas très souvent fonctionné avec des fonctions qui sont définies par tous et on n'a pas ce genre de cas un peu un peu farfelu où il ya un intervalle par exemple ou x n'est pas défini donc donc donc cette condition là va être très souvent remplis mais il faut faire quand même attention elle est nécessaire ensuite tu vas aussi à voir très souvent des fonctions qui sont des rivales partout qui sont lisses partout donc le fait que c'est la fonction soit non loin des rivages ce sera des cas assez particulier donc en général lorsque tu as une fonction qui est définie et des rivales partout et bien ce qui t'intéresse vraiment ça c'est laid c'est la méthode habituelle pour trouver l'extrême âme d'une fonction il faut que tu trouves un point où la dérive et est égal à zéro et où la dérive et change de signe en ce sens ce point là et lorsque tu as vérifier ces deux conditions pour une pour une fonction qui est qui est définie et des rivales partout et ben tu as gagné tu as trouvé un extrême locale