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Limites à l'infini d'une fonction polynôme

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On étudie les "limites à l'infini" d'une fonction polynôme dont on connaît soit la courbe représentative, soit l'expression.

Qu'appelle-t-on les "limites à l'infini" d'une fonction polynôme ?

Étudier les limites à l'infini d'une fonction f, c'est étudier les valeurs de f, left parenthesis, x, right parenthesis lorsque x s'approche des extrémités de l'axe des abscisses.
Donc c'est étudier f, left parenthesis, x, right parenthesis pour les valeurs de x proches de l'extrémité droite de l'axe des abscisses - on dit que x tend vers plus, infinity - et pour les valeurs de x proches de l'extrémité gauche de l'axe des abscisses - on dit que x tend vers minus, infinity.
Ci-contre la courbe représentative d'une fonction polynôme f. A l'extrémité droite de l'axe des x, lorsque x prend des valeurs positives et de plus en plus grandes, f, left parenthesis, x, right parenthesis prend aussi des valeurs positives et de plus en plus grandes.
Traduction en langage mathématique : si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. En français : "si x tend vers plus l'infini, f, left parenthesis, x, right parenthesis tend vers plus l'infini" ou "la limite de f en plus, ∞ est plus, ∞".
A l'extrémité gauche de l'axe des x, lorsque x prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue et se rapproche de minus, infinity (!), f, left parenthesis, x, right parenthesis prend aussi des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue.
Traduction en langage mathématique : si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. En français : "si x tend vers moins l'infini, f, left parenthesis, x, right parenthesis tend vers moins l'infini" ou "la limite de f en minus, ∞ est minus, ∞".

À vous !

1) Ci-dessous la courbe représentative de la fonction g.
Quelles sont les limites de la fonction g à l'infini ?
Choisissez une seule réponse :
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Calculer les limites à l'infini

On peut déterminer les limites d'une fonction à l'infini par le calcul.
Calculer ces limites, c'est tout simplement étudier les valeurs de f, left parenthesis, x, right parenthesis lorsque que l'on donne à x des valeurs positives et très grandes en valeur absolue ou des valeurs négatives et très grandes en valeur absolue.
Nous allons donc voir comment répondre à ces deux questions :
  • Quelle est la limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis si x, right arrow, plus, infinity, space, question mark
  • Quelle est la limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis si x, right arrow, minus, infinity, space, question mark

Le cas où le polynôme est un monôme

Une fonction monôme est une fonction qui à tout x réel fait correspondre y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, si a est un réel et n un entier positif ou nul.
On examine quelques exemples.
2) Soit la fonction f qui à tout x réel fait correspondre f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
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Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
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3) Soit la fonction g qui à tout x réel fait correspondre g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :
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Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
Choisissez une seule réponse :
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4) Soit la fonction h qui à tout x réel fait correspondre h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
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Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
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5) Soit la fonction j qui à tout x réel fait correspondre j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.
Si x est positif et très grand en valeur absolue, alors ...
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Si x est négatif et très grand en valeur absolue, alors ...
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Conclusion

Les limites à l'infini d'une fonction monôme f telle que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript dépendent à la fois de son degré start color #11accd, n, end color #11accd et du coefficient start color #1fab54, a, end color #1fab54.
Si n est pair les limites de la fonction en minus, ∞ et en plus, ∞ sont les mêmes. Selon le signe du coefficient a, elles sont toutes deux égales à plus, infinity ou toutes deux égales à minus, infinity.
Si n est impair les limites de la fonction en minus, ∞ et en plus, ∞ sont opposées. Selon le signe du coefficient a, l'une est égale à plus, infinity et l'autre à minus, infinity, ou vice-versa
On peut rassembler ces résultats dans un tableau :
Limites à l'infini d'une fonction monôme définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #1fab54, a, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, n, end color #11accd, end superscript
start color #11accd, n, end color #11accd est pair et start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0start color #11accd, n, end color #11accd est pair et start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0
Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point
start color #11accd, n, end color #11accd est impair et start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0start color #11accd, n, end color #11accd est impair et start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0
Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point

À vous !

Quelles sont les limites à l'infini de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, cubed, question mark
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Limites à l'infini d'une fonction polynôme

Qu'en est-il pour les fonctions polynômes ? Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x, question mark
Les limites à l'infini d'une fonction polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré.
Donc quand x tend vers minus, ∞ ou quand x tend vers plus, ∞, les limites de minus, 3, x, squared, plus, 7, x sont les mêmes que celles de minus, 3, x, squared.
Le degré de start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript est start color #11accd, 2, end color #11accd, donc il est pair et le coefficient start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 est négatif, donc : si x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

À vous !

7) Quelles sont les limites à l'infini de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, question mark
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8) Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 6, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 8, x, cubed, plus, 4, x, squared ?
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Pourquoi est-ce que les limites à l'infini d'un polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré ?

C'est parce c'est le terme de plus haut degré qui a le poids le plus important pour les grandes valeurs de x en valeur absolue.
On va étudier de plus près les valeurs de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x pour des valeurs de x positives et grandes en valeur absolue.
On sait que si x tend vers plus, infinity, minus, 3, x, squared tend vers minus, infinity et 7, x tend vers plus, infinity.
Mais quelle est la limite de leur somme ? On calcule les valeurs de minus, 3, x, squared, de 7, x et de leur somme pour quelques valeurs de x :
xminus, 3, x, squared7, xminus, 3, x, squared, plus, 7, x
1minus, 374
10minus, 30070minus, 230
100minus, 30, space, 000700minus, 29, space, 300
1000start color #ca337c, minus, 3, space, 000, space, 000, end color #ca337c7000start color #ca337c, minus, 2, space, 993, space, 000, end color #ca337c
On voit que minus, 3, x, squared "l'emporte" sur 7, x. A mesure que x augmente, la valeur de 7, x est de plus en plus négligeable par rapport à celle de minus, 3, x, squared.
Et si le terme en x est 999, x plutôt que 7, x, question mark
xminus, 3, x, squared999, xminus, 3, x, squared, plus, 999, x
10minus, 3009, space, 9909, space, 690
100minus, 30, space, 00099, space, 90069, space, 900
1000minus, 3, space, 000, space, 000999, space, 000minus, 2, space, 001, space, 000
10, space, 000start color #ca337c, minus, 300, space, 000, space, 000, end color #ca337c9, space, 990, space, 000start color #ca337c, minus, 290, space, 010, space, 000, end color #ca337c
Le résultat est analogue. La somme se comporte comme minus, 3, x, squared.
Peu importe le coefficient du terme en x. Aussi grand soit-il, pour les très grandes valeurs de x la somme se comporte comme minus, 3, x, squared.

Un dernier exercice

9*) Laquelle de ces courbes peut être celle de la fonction h définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 8, x, cubed, plus, 7, x, minus, 1, question mark
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Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, minus, 3, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared ?
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