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5e année secondaire - 4h
Cours : 5e année secondaire - 4h > Chapitre 2
Leçon 5: Les limites: les bases- Traduire concrètement le comportement à l'infini de la fonction qui modélise une situation concrète
- Limites à l'infini d'une fonction polynôme
- La notion de limite en un point
- Conjecturer une limite à partir de données numériques
- Donner une valeur approchée d'une limite en un point à partir d'un tableau de valeurs
- Déterminer graphiquement la limite en un point
Limites à l'infini d'une fonction polynôme
.
On étudie les "limites à l'infini" d'une fonction polynôme dont on connaît soit la courbe représentative, soit l'expression.
Qu'appelle-t-on les "limites à l'infini" d'une fonction polynôme ?
Étudier les limites à l'infini d'une fonction f, c'est étudier les valeurs de f, left parenthesis, x, right parenthesis lorsque x s'approche des extrémités de l'axe des abscisses.
Donc c'est étudier f, left parenthesis, x, right parenthesis pour les valeurs de x proches de l'extrémité droite de l'axe des abscisses - on dit que x tend vers plus, infinity - et pour les valeurs de x proches de l'extrémité gauche de l'axe des abscisses - on dit que x tend vers minus, infinity.
Ci-contre la courbe représentative d'une fonction polynôme f. A l'extrémité droite de l'axe des x, lorsque x prend des valeurs positives et de plus en plus grandes, f, left parenthesis, x, right parenthesis prend aussi des valeurs positives et de plus en plus grandes.
Traduction en langage mathématique : si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. En français : "si x tend vers plus l'infini, f, left parenthesis, x, right parenthesis tend vers plus l'infini" ou "la limite de f en plus, ∞ est plus, ∞".
A l'extrémité gauche de l'axe des x, lorsque x prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue et se rapproche de minus, infinity (!), f, left parenthesis, x, right parenthesis prend aussi des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue.
Traduction en langage mathématique : si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. En français : "si x tend vers moins l'infini, f, left parenthesis, x, right parenthesis tend vers moins l'infini" ou "la limite de f en minus, ∞ est minus, ∞".
À vous !
Calculer les limites à l'infini
On peut déterminer les limites d'une fonction à l'infini par le calcul.
Calculer ces limites, c'est tout simplement étudier les valeurs de f, left parenthesis, x, right parenthesis lorsque que l'on donne à x des valeurs positives et très grandes en valeur absolue ou des valeurs négatives et très grandes en valeur absolue.
Nous allons donc voir comment répondre à ces deux questions :
- Quelle est la limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis si x, right arrow, plus, infinity, space, question mark
- Quelle est la limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis si x, right arrow, minus, infinity, space, question mark
Le cas où le polynôme est un monôme
Une fonction monôme est une fonction qui à tout x réel fait correspondre y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, si a est un réel et n un entier positif ou nul.
On examine quelques exemples.
2) Soit la fonction f qui à tout x réel fait correspondre f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
3) Soit la fonction g qui à tout x réel fait correspondre g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.
4) Soit la fonction h qui à tout x réel fait correspondre h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.
5) Soit la fonction j qui à tout x réel fait correspondre j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.
Conclusion
Les limites à l'infini d'une fonction monôme f telle que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript dépendent à la fois de son degré start color #11accd, n, end color #11accd et du coefficient start color #1fab54, a, end color #1fab54.
Si n est pair les limites de la fonction en minus, ∞ et en plus, ∞ sont les mêmes. Selon le signe du coefficient a, elles sont toutes deux égales à plus, infinity ou toutes deux égales à minus, infinity.
Si n est impair les limites de la fonction en minus, ∞ et en plus, ∞ sont opposées. Selon le signe du coefficient a, l'une est égale à plus, infinity et l'autre à minus, infinity, ou vice-versa
On peut rassembler ces résultats dans un tableau :
| start color #11accd, n, end color #11accd est pair et start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd est pair et start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
| start color #11accd, n, end color #11accd est impair et start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd est impair et start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
À vous !
Limites à l'infini d'une fonction polynôme
Qu'en est-il pour les fonctions polynômes ? Quelles sont les limites à l'infini de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x, question mark
Les limites à l'infini d'une fonction polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré.
Donc quand x tend vers minus, ∞ ou quand x tend vers plus, ∞, les limites de minus, 3, x, squared, plus, 7, x sont les mêmes que celles de minus, 3, x, squared.
Le degré de start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript est start color #11accd, 2, end color #11accd, donc il est pair et le coefficient start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 est négatif, donc : si x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, et si x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
À vous !
Pourquoi est-ce que les limites à l'infini d'un polynôme sont les mêmes que celles de son terme de plus haut degré ?
C'est parce c'est le terme de plus haut degré qui a le poids le plus important pour les grandes valeurs de x en valeur absolue.
On va étudier de plus près les valeurs de g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x pour des valeurs de x positives et grandes en valeur absolue.
On sait que si x tend vers plus, infinity, minus, 3, x, squared tend vers minus, infinity et 7, x tend vers plus, infinity.
Mais quelle est la limite de leur somme ? On calcule les valeurs de minus, 3, x, squared, de 7, x et de leur somme pour quelques valeurs de x :
| x | minus, 3, x, squared | 7, x | minus, 3, x, squared, plus, 7, x |
|---|---|---|---|
| 1 | minus, 3 | 7 | 4 |
| 10 | minus, 300 | 70 | minus, 230 |
| 100 | minus, 30, space, 000 | 700 | minus, 29, space, 300 |
| 1000 | start color #ca337c, minus, 3, space, 000, space, 000, end color #ca337c | 7000 | start color #ca337c, minus, 2, space, 993, space, 000, end color #ca337c |
On voit que minus, 3, x, squared "l'emporte" sur 7, x. A mesure que x augmente, la valeur de 7, x est de plus en plus négligeable par rapport à celle de minus, 3, x, squared.
Et si le terme en x est 999, x plutôt que 7, x, question mark
| x | minus, 3, x, squared | 999, x | minus, 3, x, squared, plus, 999, x |
|---|---|---|---|
| 10 | minus, 300 | 9, space, 990 | 9, space, 690 |
| 100 | minus, 30, space, 000 | 99, space, 900 | 69, space, 900 |
| 1000 | minus, 3, space, 000, space, 000 | 999, space, 000 | minus, 2, space, 001, space, 000 |
| 10, space, 000 | start color #ca337c, minus, 300, space, 000, space, 000, end color #ca337c | 9, space, 990, space, 000 | start color #ca337c, minus, 290, space, 010, space, 000, end color #ca337c |
Le résultat est analogue. La somme se comporte comme minus, 3, x, squared.
Peu importe le coefficient du terme en x. Aussi grand soit-il, pour les très grandes valeurs de x la somme se comporte comme minus, 3, x, squared.
Un dernier exercice
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Y'a pas une erreur tout au début ? Vérifier votre compréhension valeur positive et négative de l'infini...
Au final plein d'erreur dans les infinis des exemples avec réponses !(4 votes)
Il y a effectivement des erreurs dans les propositions des exercices:
http://imgur.com/a/y9fJ5(2 votes)