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5e année secondaire - 4h

Cours : 5e année secondaire - 4h > Chapitre 2 

Leçon 14: Limites à l'infini et asymptotes horizontales
Mathématiques
5e année secondaire - 4h
Analyse
Limites à l'infini et asymptotes horizontales
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La courbe représentative d'une fonction polynôme

Google Classroom
Utiliser les propriétés d'une fonction polynôme pour en déduire l'allure de sa courbe représentative.

Les prérequis

Les limites à l'infini d'une fonction polynôme, c'est-à-dire les réponses à ces deux questions :
  • Quelle est la limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis si x, right arrow, plus, infinity, space, question mark
  • Quelle est la limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis si x, right arrow, minus, infinity, space, question mark
Ce sujet est traité dans la leçon Limites à l'infini d'une fonction polynôme.
Les racines de la fonction polynôme f sont les abscisses des points communs à la courbe de f et à l'axe des x. Si une racine de f est d'ordre impair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f coupe l'axe des x. Si une racine de f est d'ordre pair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f est tangente à l'axe des x.
Si besoin, reportez-vous à la leçon Associer un polynôme à sa représentation graphique en utilisant ses racines.

Le sujet traité

Ici, on se sert de ces propriétés pour donner l'allure de la courbe représentative de la fonction polynôme étudiée.

Un exemple

Que sait-on de la courbe représentative de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared ?

Son point d'intersection avec l'axe des ordonnées

On calcule l'image de 0.
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(0)=(3×0−2)(0+2)2f(0)=−2×4f(0)=−8\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ f(\tealD0)&= (3×\tealD 0-2)(\tealD0+2)^2\\ \\ f(0)&= -2×4\\\\ f(0)&=-8 \end{aligned}
L'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des y est minus, 8.

Ses points communs avec l'axe des abscisses

On résout l'équation f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
f(x)=(3x−2)(x+2)20=(3x−2)(x+2)2\begin{aligned} f(x)&=(3x-2)(x+2)^2 \\\\ \tealD 0&= (3x-2)(x+2)^2\\ \\ \end{aligned}
↙↘3x−2=0oux+2=0x=23oux=−2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ 3x-2&=0&\text{ou}\quad x+2&=0&\small{\gray{\text{}}}\\\\ x&=\dfrac{2}{3}&\text{ou}\qquad x&=-2\end{aligned}
Les couples de coordonnées de ses points communs avec l'axe des x sont left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, space, ;, 0, right parenthesis et left parenthesis, minus, 2, space, ;, space, 0, right parenthesis.
start fraction, 2, divided by, 3, end fraction est une racine simple et minus, 2 est une racine double. Donc la courbe de la fonction f coupe l'axe des x au point de coordonnées left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, space, ;, space, 0, right parenthesis et elle est tangente à l'axe des x au point de coordonnées left parenthesis, minus, 2, space, ;, space, 0, right parenthesis.

Son comportement à l'infini

La limite d'une fonction polynôme quand x tend vers l'infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
On développe f, left parenthesis, x, right parenthesis.
f(x)=(3x−2)(x+2)2f(x)=(3x−2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x−2x2−8x−8f(x)=3x3+10x2+4x−8\begin{aligned}f(x)&=(3x-2)(x+2)^2\\ \\ f(x)&=(3x-2)(x^2+4x+4)\\ \\ f(x)&=3x^3+12x^2+12x-2x^2-8x-8\\ \\ f(x)&=\goldD{3x^3}+10x^2+4x-8 \end{aligned}
Le terme de plus haut degré est start color #e07d10, 3, x, cubed, end color #e07d10, donc les limites de f, left parenthesis, x, right parenthesis quand x tend vers minus, ∞ ou vers plus, ∞ sont les même que celles de 3, x, cubed.
3, x, cubed est de degré impair et 3 est positif, donc si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity et si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.

L'allure de la courbe de la fonction f

On utilise les résultats précédents.
D'abord les limites de f à l'infini :
  • Si x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
  • Si x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Pour les très grandes valeurs de x en valeur absolue, la courbe de f se comporte comme la courbe de la fonction qui à x fait correspondre x, cubed.
Maintenant les point d'intersection avec l'axe des x :
  • minus, 2 est une racine double donc la courbe de f est tangente à l'axe des x au point de coordonnées left parenthesis, minus, 2, space, ;, space, 0, right parenthesis.
  • start fraction, 2, divided by, 3, end fraction est une racine simple donc la courbe de f coupe l'axe des x au point de coordonnées left parenthesis, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, space, ;, space, 0, right parenthesis.
Enfin, on sait que le point d'intersection de la courbe de f et de l'axe des y est le point de coordonnées left parenthesis, 0, space, ;, space, minus, 8, right parenthesis. On en déduit l'allure de la courbe de f.
Même si on ne sait pas quelle est exactement abscisse du minimum, on a une bonne idée de l'allure de la courbe de f !

Les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative.

On peut répondre à la question de savoir sur quels intervalles la fonction est positive et sur quels intervalles elle est négative.
On lit que f est positive si x, is greater than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction et négative si x, is less than, minus, 2 ou si minus, 2, is less than, x, is less than, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction.

A vous !

1) La fonction f est définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis.
a) Quel est le couple de coordonnées du point d'intersection avec l'axe des y de la courbe de la fonction f, question mark
left parenthesis, 0,
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis

b) Si f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, alors...
Choisissez une seule réponse :

c) Quels sont les couples de coordonnées des points communs à la courbe représentative de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis et à l'axe des x, question mark
Choisissez une seule réponse :

d) Laquelle de ces courbes peut être celle de la courbe représentative de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, question mark
Choisissez une seule réponse :

2) Laquelle de ces courbes peut être la courbe représentative de la fonction qui à tout x réel fait correspondre y, equals, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared
Choisissez une seule réponse :

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