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5e année secondaire - 4h

Cours : 5e année secondaire - 4h > Chapitre 2 

Leçon 1: Opérations sur les fonctions
Mathématiques
5e année secondaire - 4h
Analyse
Opérations sur les fonctions
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Fonctions composées

Google Classroom
À travers divers exemples apprendre à définir une fonction composée.
Soit une fonction g dont l'ensemble de définition est A et l'ensemble image B. Et soit une fonction f dont l'ensemble de définition est B et l'ensemble image C. Si x a comme image y par la fonction g et si y a comme image z par la fonction f, on peut imaginer la fonction qui à x fait correspondre z. Cette fonction s'appelle la composée de g suivie de f. On a y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis et z, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis, donc z, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Calculer l'image d'un nombre par une fonction composée

Exemple

f et g sont telles que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2. Calculer f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis.

Réponse

Il faut toujours calculer d'abord ce qui est dans les parenthèses intérieures. Ici, on calcule d'abord g, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Le calcul de g, left parenthesis, 3, right parenthesis :
g(x)=x3+2g(3)=33+2                   =29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&={3}^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &={29}\end{aligned}
g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29, donc f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
Le calcul de f, left parenthesis, 29, right parenthesis :
f(x)=3x−1f(29)=3×29−1               =86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3×{29} - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
Donc f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86.

L'expression de la fonction composée

Dans cet exemple, l'image de 3 par la fonction g est 29 et l'image de 29 par la fonction f est 86. On veut écrire la fonction "g suivie de f" qui à 3 fait correspondre 86.
On veut donc établir l'expression de la fonction composée g suivie de f, c'est-à-dire f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

Exemple

Quelle est l'expression de f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, space, question mark
si f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.

Réponse

f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis est l'image de start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c par la fonction f. Donc on remplace start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 par start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c dans l'expression de f.
f(x)=3x−1f(g(x))=3g(x)−1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3\maroonD{g(x)}-1 \\ \end{aligned}
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, donc on remplace g, left parenthesis, x, right parenthesis par x, cubed, plus, 2.
f(g(x))=3(g(x))−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3(g(x))-1 \\\\ &=3{(x^3+2)}-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
On vérifie si l'image de 3 par cette fonction est bien 86.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3×33+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3× 3^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
Parfait !

À vous !

Exercice 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2
Calculer g, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 2

m, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2
n, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
Expliciter m, left parenthesis, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
 

Fonction composée : définition

Dans l'exemple ci-dessus, on a explicité une fonction composée.
La fonction composée g suivie de f est notée f, circle, g, ce qui se lit "f rond g", et par définition :
left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Ce schéma permet de bien visualiser que f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis est l'image de x par la fonction f, circle, g.
Voici un autre exemple.

Exemple

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x
Expliciter left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis et calculer left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.

Réponse

On explicite left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis :
(h∘g)(x)=h(g(x))Par deˊfinition.=(g(x))2−2(g(x))On remplace x par g(x) dans l’expression de h.=(x+4)2−2(x+4)car g(x)= x+4.=x2+8x+16−2x−8On deˊveloppe.=x2+6x+8\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{Par définition.}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{On remplace } x \text{ par } g(x)\text{ dans l'expression de }h.}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{\text{car } g(x)\text{= } x+4.}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{On développe.}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{}}}\end{aligned}
On connaît l'expression de la fonction h, circle, g, donc pour calculer left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, on remplace x par minus, 2.
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6×(−2)+8=4−12+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6×(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
Pour calculer la valeur de left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, on peut aussi calculer directement h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis :
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)        car g(−2)=−2+4=2=0             car h(2)=22−2×2=0\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{car }g(-2)=-2+4=2}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{car }h(2)=2^2-2×2=0}}\\\\ \end{aligned}
Ce schéma permet de visualiser left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis et h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis :
L'image de minus, 2 par g est 2, puis l'image de 2 par h est 0. L'image de minus, 2 par g suivie de h, c'est à dire par h, circle, g est 0.

À vous !

Exercice 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 5
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, minus, 2, x
Calculer left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Dans les deux exercices ci-dessous, f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2 et g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5.

Exercice 4

Expliciter left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.
 

Exercice 5

Expliciter left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.
 

Un dernier exercice

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g :
Par lecture graphique, on obtient que left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, 8, right parenthesis est égal à :
Choisissez une seule réponse :

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  • primosaur seedling style l'avatar de l’utilisateur Lexe Koshka
    Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Lexe Koshka «Bonjour , je ne comprend ... »
    Bonjour , je ne comprend pas un calcul dans l'exemple de la fonction composée : ​​f (g(x)) ​​​​​​​​​= 3 (g(x)) −1 on remplace g(x) par x^3 +2 , donc f(g(x)) = 3x^3 +2 -1 ce qui donne pour moi 3x^3 + 1 alors que vous avez trouvé 3x^3 + 6 - 1 ? Comment êtes vous passé de +2 à + 6 ? Désoler si ma question est bête mais je ne comprend pas, merci de votre aide !
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Bonjour; Attention, ce qu ... »
      Bonjour; Attention, ce que vous dites serait vrai si g(x) était égal à x^3. Ici g(x) = x^3 + 2, donc f(g(x)) = 3g(x) - 1 = 3(x^3 + 2) - 1 = 3x^3 + 6 - 1
      Il y a une erreur dans cette leçon car la parenthèse autour de x^3 + 2 a été omise.
      L'erreur va être corrigée.
      (2 votes)
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