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Maximiser les profits d'une fabrique de chaussures

Transcription de la vidéo

le patron d'une fabrique de chaussures te demande de l'aider à maximiser ses profits du mois prochain en estimant le nombre optimal de père à produire il a déjà modéliser ses revenus et ses coûts en fonction de sa production donc si x et le nombre de pères qu'ils produisent en fait le nombre de milliers de pères qui le produit ces revenus suivent cette fonction rdx est égal à 10 x ce qui veut dire que chaque milliers de chaussures lui rapporte dix mille euros on va payer autrement dit chaque paire de chaussures lui rapporte 10 euros c'est le prix de vente de ses chaussures et ses coûts suivent cette fonction un peu plus compliqué c'est de x est égal à x cube - 6 x carey +15 6 voilà c'est le je dirais le meilleur effort qu'ils auront pu faire pour modéliser cette fonction de coo sachant qu'il doit payer ses employés la maintenance de son usine l'électricité et caetera et vu que ces coûts varient de manière un peu différente chacun de ces catégories de coûts varient de manière différente en fonction de la production la fonction de coo et un peu compliqué très bien donc ce qu'on cherche à faire c'est de maximiser les profits et quelle est la fonction de profits si je l'appelle p 2 x ebimpé de xc un les revenus airs de x - les coûts ces 2 x et c'est ça ce qu'on essaye de maximiser on essaye de maximiser la différence entre les revenus et les profits donc la fonction qu'on essaye de maximiser ses 10 x - x cube - 6/4 et +15 6 et là on peut simplifier davantage parce qu'on a un 10 x est un moins 15 x donc au final on a un polynôme de degré 3 - ex cube + 6 x carré alors plus 10 x - 15 x a fait moins 5 x et voilà notre fonction profite donc maintenant ce qu'on aimerait faire c'est de trouver le maximum de cette fonction est ainsi on pourra recommander aux patrons de de produire une certaine quantité de paires de chaussures afin de maximiser cette fonction paie 2 x alors pour cela on va chercher la dérive et de paix du xv a exprimé la dérive et de p 2 x qui est égal à - 3 x car et + 12 x -5 et la fonction au pde x peut donc atteindre un extrait mam locale lorsque paix primes de x est égal à zéro donc lorsque x est égal à -12 plus ou moins racines de douze cars et moins quatre fois moins trois fois moins 5 le tout divisé par deux fois moins trois donc de te / - 6 et en en simplifiant davantage cette expression on obtient 2 plus ou moins de racines de 21 / racines de 21 / 3 voilà j'ai sauté un peu les quelques étapes de simplification mais voilà ce qu'on obtient et donc ça nous donne de valeur possible de x parce que ces deux valeurs de plus de racines de 21 sur trois es2 - racines de 21 sur trois ces deux valeurs sont positives donc donc on doit les retenir toutes les deux parce qu'on a on a deux candidats possibles pour un maximum locales et en valeur approcher quelles sont ces deux valeurs si tu rentres ça dans la calculette de plus de racines de 21 sur trois et deux mois racines de 21 sur trois dieux bien respectivement 3 528 et 0 472 donc à ce stade on a deux choix potentiellement à proposer à notre patron soin de produire 3528 paire de chaussures soin de produire quatre cent soixante douze paires de chaussures donc là il faut voir laquelle de ces deux valeurs de x et là la production qui rapportera le plus de profit alors un premier choix ce serait tout simplement de trouver p23 528 ep20 cote 472 et prendre le maximum d 2 1 mais on peut aussi chercher la dérivée seconde pour voir pour vérifier si déjà on a ici deux maximum locaux aussi l'un des deux est un minimum local on suspecte d'avoir un minimum local entre les deux parce que eh bien une une fonction un polynôme du troisième degré habituellement à une forme qui ressemble qui ressemble à assat par exemple où on a un minimum local à un maximum locale alors allons-y vérifions en calculant t secondes 2 x en trouvant son expression d'abord ça donc je vais dérivés primes de x et ça me donne moins 6 x + 12 et maintenant je vais vérifier si p seconde de 3 528 est négative ou positive alors moins 6 x 3,5 donc déjà même moins 6 x 3 ça ça me donne moins 18 et +12 ça me donne moins six donc p 2 3 528 est clairement négative ce qui veut dire que au niveau de ceux de ce point là on a une fonction qui est concave parce que la dérive et et décroissante donc ici on a affaire à un maximum locale donc ça on va retenir cette valeur de et que c'est probablement celle là qui est le maximum de la fonction ensuite juste pour vérifier donc a priori on a un hymne au minimum au niveau de 0.4 172 mais on va vérifier effectivement moins six fois 0.5 ça me donne moins trois +12 ça me donne plus neuf donc oui on est clairement positif à ce niveau là la dérive et donc passante donc on a affaire à un minimum local ici donc on ne va pas à retenir cette solution parce qu'on ne veut pas minimiser les profits on veut les maximiser et du coup on va recommander aux patrons de produire 3528 paire de chaussures et on estime que s'il produit 3528 paire de chaussures ce qu'il va gagner en millions d'euros en milliers d'euros pardon cp2 3,528 et pour obtenir ça il suffit de remplacer x par 3 528 dans cette expression de paix de x et en faisant le calcul chez moi je les fais avec ma calculatrice on obtient 13,1 128 ce qui veut dire que on va faire un profit de 13 mille 128 euros 13000 128 euros donc ça y est on a on a maintenant fait le calcul que nous a demandé le patron ce qu'on va lui recommander du coup c'est de produire 3528 paire de chaussures et avec ça il devrait faire un profit de 13 mille 128 euros le mois prochain