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Vitesse d'augmentation du niveau d'eau dans un réservoir conique

Transcription de la vidéo

dans ce problème on a un robinet qui remplit un cône inversé avec un débit de 1 centimètre cube par seconde le diamètre de la base de ce code mesure quatre centimètres et la hauteur 4 cm également est incertain instant le niveau d'eau atteint 2 cm et la question qu'on me pose c'est à quelle vitesse augmente le niveau d'eau à cet instant donc si on a le niveau d'eau qui vaut h ce qu'on te demande d'évaluer c'est la vitesse d'augmentation 2h donc des hdt et on te demande d'évaluer dh d'été quand ça va quand le niveau d'eau a atteint 2 cm donc lorsque h est égal à 2 cm et comme dans les dernières vidéos évidemment on n'a pas directement h en fonction de tes sinon ce serait trop facile et il semble qu'on va passer par le volume surtout que là on te donne une information sur un débit donc on te donne en gros un dvd t et il semble que ce qu'on doit utiliser une fois de plus c'est le théorème de dérivation des fonctions composer et on va décomposer la dh d'été en dh dv fois dvd t sachant que des vdt donc si wc le volume du cône c'est le sait le volume de ce cône d'eau qui est en train de grandir donc si ça c'est le volume de moncton et ben dvd tai chi et la vitesse d'augmentation du volume le volume d'eau doit augmenter aussi vite qu'on reçoit de l'eau dans le cône c'est logique donc ça c'est égal à 1 centimètre cube par seconde donc on a déjà des vdt ça on n'a pas besoin de s'inquiéter pour ça le défi qui noierait ce réellement c'est de calculer des hdv au moment où h est égal à 2 cm alors pour cela on doit déjà avoir une expression générale 2 h en fonction de v et comment on va faire ça et ben vih sont reliés par la formule qui dit que le volume d'un cône le volume d'un cône est égale à un tiers fois l'air de la base fois la hauteur donc on a déjà exprimé la hauteur comme h et il nous reste plus qu'à exprimer l'ère de la base en fonction de haches et ce sera bon alors l'art de la base cpie fois le rayon au carré donc si j'appelle ce rayon air et ben je dois essayer d'évaluer combien vaut un air et l'information que je vais utiliser ce sont les dimensions du cône là en utilisant le théorème de thalès dans ce triangle dans ce triangle où j'essaie de droite qui sont parallèles où j'ai ici une mesure 2 h est ici une mesure total de cadres donc j'ai h sur quatre qui est égal à aire sur la moitié de quatre aires sur deux ici on a h sur quatre qui est égale au rayon sur deux ce qui veut dire que le rayon en fonction des âges ça donne quoi ça donne deux fois h sur quatre autrement dit air est égal à h sur deux donc le volume de mon corps est égale à un tiers fois pierre carrey donc fois pie x h sur deux au carré le to x h ou encore je vais continuer ici v est égal à 10 sur 12 parce qu'on a trois fois cas à foix ii au carré donc on a on a 12 ans ba qui est sur douze fois achkhar et x h donc ça donne h pub hockey et nous qu'il nous faut ces pavés en fonction de h mais h en fonction devait alors parce qu'après on a envie d'obtenir des hdv c'est pas très conventionnel d'avoir h en fonction de v mais dans ce problème là c'est ce dont on a besoin hachette égal à quoi en fonction devait alors h cube c'est égal à 12 v sur pie donc h c'est égal à 12 v sur pie à la puissance entière donc maintenant dh dvd hdv illégal à quoi des hdvc un tiers fois la dérive et de ce que j'ai à l'intérieur donc 12 pie xii sur pie par dont 12 sur pie x mon 12v sur pie à la puissance un tiers - 1 donc moins deux tiers et ce doux sur trois sait se simplifie en quatre donc en fait j'ai quatre sur pie x 12 v sur pied à la puissance moins deux tiers et ça je doit l'évaluer des hpv jeu doit l'évaluer maintenant lorsque h est égal à 2 alors lorsque h est égal à 2 il me faut le volume à quoi est égal mon volume mon volume lorsque h est égal à 2 et balla on à l'expression du volume on a le volume qui est égal à petit sur 12 x h cube donc fois de au cube on a donc huit pieds sur 12 ou encore deux tiers depuis 2/3 de pied il reste plus qu'a exprimée du coût des hdv lorsque h est égal à 2 cm donc des hdv de manière générale il est égal à 4 sur pie x 12 v sur pied le tout à la puissance moins deux tiers et on a vu que v lorsque h est égal à 2 il est égal à 2 pi sur trois donc ici on a 2 pi sur trois très bien donc on a les pieds qui s'annulent ici on a 12 sur trois qui se simplifie en 4 donc à l'intérieur et si on a deux fois 4 8 on a donc quatre sur qui x 8 à la puissance moins 2/3 donc c'est la même chose que 1 sur 8 à la puissance deux tiers et 8 à la puissance de tierce et 8 à la puissance un tiers le tout à la puissance de racine cubique de 8 ça fait 2-2 haut careï 4 4 et 4 s'annulent il ne vous reste plus que 1 sur pi 1 sur pie cdh dv lorsque h est égale à deux très bien donc on a trouvé que ça ça fait 1 sur pie on a trouvé que ça ça fait un centimètre cube par seconde donc finalement là la réponse finale c'est un sur pied on a des hdt qui égale à 1 sur pie ça veut dire que chaque seconde la hauteur croît de 1 sur pie et ce serait bien d'avoir une valeur approcher parce que un sur pied on n'arrive pas trop à visualise que visualiser ce que c'est directement et à la calculette si tu calcules un sur pied ça donne environ 0 32 02 32 cm par seconde c'est le taux de variation de h donc la vitesse à laquelle h augmente chaque seconde h augmente de 0 32 cm chaque seconde