Équation d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction polynôme

soit f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels paref 2x égale x au cube - 6 x au carré plus six mois 5 déterminez l'équation de la tangente à la courbe représentatif de f au point d'absys x égal 1 pire tu peux mettre la vidéo sur pause a essayé de le faire de ton côté et de toute façon on va le faire ensemble ensuite alors ce qu'on nous demande c'est de déterminer l'équation de la tangente d'une tangente précise à la courbe représentatif de f au point d'absys x égal alors là j'ai tracé la courbe pour qu'on se rende bien compte de ce qui nous est demandé donc ici en bleu j'ai la courbe représentatives de la fonction f est ce qu'on nous demande c'est de déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abc 6 également alors le point d'absys x égal 1 il est ici voilà donc on nous demande de déterminer l'équation de la tangente à la courbe en ce point là alors je vais la trace est à peu près un bon on se fasse une idée un peu précises voilà on nous demande de déterminer l'équation de cette droite que je viens de tracer ici qu'est la tangente au point d'abc 6 égal 1 alors cette tangente on sait que c'est une droite donc ce qu'on peut dire tout de suite c'est qu'elle va avoir une équation qui va être de cette forme-là y égale mx plus paie puisque toutes les droites ont une équation de ce genre là ce qu'on sait aussi c'est que m ici dans ce cas là le coefficient directeur de cette tangente eh bien ça va être le nombre dérivés de f au point d'absys x égal 1 donc ça va être f prime de 1 ce qui veut dire qu'évidemment il va falloir qu'on calcule ce nombre dérivés de fo point d'abc 6 égal 1 alors ça je vais le faire tout de suite je vais calcul et déjà la dérive et 2f donc f primes de x et ça c'est assez simple puisque c'est un polynôme en fait je peux prendre chaque terme le terme de cette somme ici est appliquée à chaque fois la règle de dérivation des fonctions puissance donc ici ce 3 va devenir un facteur multiplicatif et l'exposant va être diminuée de une unité ici c'est pareil le 2 va devenir un facteur multiplicatif et l'exposant va être diminuée de une unité et là c'est la même chose alors je vais aller un peu plus doucement d'abord j'ai la dérive et 2x au cube qui est 3x au carré c'est bien ça j'ai fait descendre le 3 ans facteur multiplicatif et l'exposant est diminuée de une unité ensuite j'ai moins six fois la dérive et 2x au carré la dérive et de xo caresser 2x donc ici je vais avoir moins 6 x 2 x et tu vois que c'est ce que je disais tout à l'heure le 2t sans facteur multiplicatif et l'exposant est diminuée de une unité donc on a x puissance 2 - 1 c'est à dire x puissance 1 donc c'est bien ça et puis ensuite j'ai la dérive et 2x et la dérive et 2x et bien c'est un alors ça tu peux le voir aussi avec les fonctions puissance 1 x et x puissance 1 et donc le 1 descend en facteur multiplicatif et l'exposant devient l'exposant 1 - 1 c'est-à-dire 0 donc on a bien une fois x puissance zéro c'est à dire un et ensuite il reste le dernier terme moins 5 la dérive et de -5 7 égal à zéro donc finalement f primes de x c'est ça je vais faire les calculs intermédiaire c'est donc 3 x au carré - 6 x 2 c'est à dire 12 x + 1 et donc en remplaçant x par un je trouve l'expression enfin le nombre dérivés de f au point d'absys x égal 1 c'est trois fois 1 c'est à dire 3 - douze fois c'est à dire moins 12 + 1 3 - 12 ça fait moins 9 + 1 ça fait moins 8 donc est ce prime de 1 est égal à -8 ce qui veut dire que finalement l'équation delà de la tangente au point d'abc 6 égal 1 c y et galles - 8x plus p alors maintenant comment est ce que je peux trouver p et bien tout simplement je vais imposer le fait que la droite dont je parle elle passe par le point de coordonner un f2 un la tangente elle passe par le point de coordonner un f 2 1 alors f21 on va le calcul est ici on peut le lire mais c'est pas très précis et puis toute façon on demandait pas de tracer la courbe donc il faut qu'on calcule f 2 1 et f 2 1 je vais le calcul est tout simplement en remplaçant x parent dans l'expression de f ça me donne un au cube - 6 x 1 au carré + 1 - 5 alors 1 occupe ça fait un mois 6 x 1 au carré ça fait 6 donc la g1 - si ce qui fait moins 5 + 1 ça fait moins 4 - 5 ça fait moins 9 et d'ailleurs c'est à peu près ce qu'on peut lire ici un lacet -10 donc on est juste un peu au dessus c'est moins 9 donc c'est cohérent du coup je vais reprendre cette équation là et elle me dit que quand hicks est égal à 1 et bien y est égal à -9 c'est à dire que je dois avoir moins neuf qui est égal à moins 8 fois un plus p ce qui veut dire que paix est égal à -9 +8 c'est à dire moins 1 et donc finalement la tangente dont on parle ici est là pour équation y égal moins 8 x - 1 est ce qu'on peut voir ici c'est qu'effectivement c'est cohérent avec le dessin qu'on a fait ici puisque ce moins inquiets la celle ordonnée à l'origine et c'est donc le point d'intersection avec l'axé des ordonnées qui est ici effectivement sur le graphique on peut lire que c'est à peu près moins que ça