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Dérivée du produit de deux fonctions - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

La formule de dérivation d'un produit

Elle permet de calculer la dérivée d'un produit.
open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, times, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, prime, equals, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, prime, times, g, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, times, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, prime
On fait la somme du produit de la dérivée de f, left parenthesis, x, right parenthesis par g, left parenthesis, x, right parenthesis et du produit de la dérivée de g, left parenthesis, x, right parenthesis par f, left parenthesis, x, right parenthesis.

A quoi sert cette formule ?

Exercice 1

Soit h, colon, x, ↦, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.
=h(x)=[ln(x)cos(x)]=(ln(x))cos(x)+ln(x)(cos(x))=1x×cos(x)+ln(x)×(sin(x)) =cos(x)xln(x)sin(x)\begin{aligned} &\phantom{=}h'(x) \\\\ &=\operatorname{}[\ln(x)\cos(x)]' \\\\ &=\operatorname{}(\ln(x))'\cos(x)+\ln(x)\operatorname{}(\cos(x))'&&\gray{\text{}} \\\\ &=\dfrac{1}{x}\times\cos(x)+\ln(x)\times (-\sin(x))&&\gray{\text{}\operatorname{}\text{ }\operatorname{}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)}{x}-\ln(x)\sin(x)&&\gray{\text{}} \end{aligned}

À vous !

Exercice 1
  • Actuelle
v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, e, start superscript, x, end superscript
v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Exercice 2

On donne :
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4minus, 413space, space, space, 08
H est la fonction telle que, pour tout x, H, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Calculer H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.
H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, donc H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis. On obtient :
H(4)=f(4)g(4)+f(4)g(4)=0×13+(4)×8=32\begin{aligned} H'(4)&=f'(4)g(4)+f(4)g'(4) \\\\ &=0×13+(-4)×8 \\\\ &=-32 \end{aligned}

À vous !

Exercice 1
  • Actuelle
xg, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 22minus, 134
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, times, h, left parenthesis, x, right parenthesis
F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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