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5e année secondaire - 4 h

Leçon 11: La dérivée d'un quotient de fonctions

Dérivée du quotient de deux fonctions - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

Elle permet de calculer la dérivée d'un quotient.

{[\frac{f (x)}{g (x)}]}^{'} = \frac{[f (x)]^{'} \times g (x) - f (x) \times [g (x)]^{'}}{[g (x)]^{2}}

On fait la différence du produit de la dérivée de

f (x)

par

g (x)

et du produit de la dérivée de

g (x)

par

f (x)

et on divise par

[g (x)]^{2}

Une vidéo non traduite.

Soit la fonction

x \mapsto \frac{\sin (x)}{x^{2}}

\begin{aligned} {(\frac{\sin x}{x^{2}})}^{'} \\ = \frac{(\sin x)^{'} x^{2} - \sin (x) (x^{2})^{'}}{(x^{2})^{2}} \\ = \frac{\cos (x) \times x^{2} - \sin (x) \times 2 x}{(x^{2})^{2}} \\ = \frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x^{4}} \\ = \frac{x \cos (x) - 2 \sin (x)}{x^{3}} \end{aligned}

Exercice 1

f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}

f^{'} (x) =

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

On donne :

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍
$4$ ‍	$- 4$ ‍	$- 2$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

H

est la fonction telle que, pour tout

x

H (x) = \frac{f (x)}{g (x)}

. Calculer

H^{'} (4)

H^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

, donc

H^{'} (4) = \frac{f^{'} (4) g (4) - f (4) g^{'} (4)}{[g (4)]^{2}}

. On obtient :

\begin{aligned} H^{'} (4) & = \frac{f^{'} (4) g (4) - f (4) g^{'} (4)}{[g (4)]^{2}} \\ = \frac{0 \times (- 2) - (- 4) \times 8}{(- 2)^{2}} \\ = \frac{32}{4} \\ = 8 \end{aligned}

Exercice 1

$x$ ‍	$g (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 2$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$- 1$ ‍	$2$ ‍

F (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

F^{'} (- 2) =

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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