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5e année secondaire - 4 h
Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 6
Leçon 9: La dérivée d'une fonction composée- Identifier des fonctions composées
- Reconnaître si une fonction est une fonction composée
- Dérivée d'une fonction composée
- Erreurs courantes dans l'application de la règle de dérivation des fonctions composées
- Dérivation d'une fonction composée avec une fonction puissance
- La dérivée de √(3x²-x)
- Exemple : Dérivée de ln(<unk> x) en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées
- Dérivation d'une fonction composée 1
- Règle de dérivation d'une fonction composée : exemple à partir d'un tableau de valeurs
- Dérivée d'une fonction composée 2
- Dérivée d'une fonction composée
- Déterminer (gof)'(2,5) à partir des courbes représentatives de f et g
- Déterminer la valeur de la dérivée de g^3 en 4 à partir de la courbe représentative de g
- La dérivée de la composée de trois fonctions
- La formule de dérivation d'une fonction composée
- Dérivées de fonctions composées, avec sin(x), cos(x), tan(x), eˣ & ln(x)
- Dérivée d'une fonction composée 1
La formule de dérivation d'une fonction composée
L'explication de la formule.
Introduction
Si et sont deux fonctions, par exemple telles que et , on sait calculer la dérivée de leur somme :
Formule : | |
Exemple : |
et de leur produit :
Formule : | |
Exemple : |
La dérivée de la composée suivie de est :
Formule : | |
Exemple : |
Pour expliquer cette formule, on utilise un artifice
Attention : Pour les besoins de la cause et pour présenter cet artifice, on obligé d'utiliser la notation qui signifie "dérivée par rapport à x".
Au lieu d'écrire , on écrit :
Si la variable était , on écrirait :
L'artifice est de remplacer par une fonction. On obtient, par exemple :
A priori, mathématiquement cela ne tient pas debout, car " " et " " ne sont ni des nombres, ni des expressions. Pour tenter une justification il faut faire appel à des notions qui dépassent largement le cadre de la question traitée ici. Donc il faut considérer cela comme un moyen mnémotechnique. L'intérêt est que cette écriture de permet de trouver la dérivée de par rapport à :
Les choses sont beaucoup plus claires si et sont des fonctions quelconques et non pas la fonction carrée et la fonction . On obtient la formule qui se lit "la dérivée de par rapport à est égale au produit de la dérivée de par rapport à par la dérivée de par rapport à " :
Exemple 1 :
Exemple 2 :
On va utiliser cette formule pour calculer la dérivée de la fonction , que l'on peut considérer comme une fonction composée car pour tout réel, . Par exemple,
La dérivée de la composée d'un nombre quelconque de fonctions
La formule s'applique à la composée de plus de deux fonctions. Par exemple, soient , , et quatre fonctions, et soit la composée de ces quatre fonctions :
Ici encore la notation est très utile. On démontre que :
Exemple 4 :
Soit la fonction définie par .
Leurs dérivées sont ;
On applique la formule :
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