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Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 6

Leçon 9: La dérivée d'une fonction composée

La formule de dérivation d'une fonction composée

L'explication de la formule.

Introduction

u

v

sont deux fonctions, par exemple telles que

u (x) = x^{2}

v (x) = \sin (x)

, on sait calculer la dérivée de leur somme :

‍	‍
Formule :	$\frac{}{} (u (x) + v (x))^{'} = u^{'} (x) + v^{'} (x)$ ‍
Exemple :	$\frac{}{} (x^{2} + \sin (x))^{'} = 2 x + \cos (x)$ ‍

et de leur produit :

‍	‍
Formule :	$\frac{}{} (u (x) v (x))^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)$ ‍
Exemple :	$\frac{}{} (x^{2} \times \sin (x))^{'} = 2 x \sin (x) + x^{2} \times \cos (x)$ ‍

La dérivée de la composée

u

suivie de

f

est :

‍	‍
Formule :	$\frac{}{} (f (u (x))^{'} = f^{'} (u (x)) u^{'} (x)$ ‍
Exemple :	$\frac{}{} [(\sin x)^{2}]^{'} = 2 \sin x \cos x$ ‍

Pour expliquer cette formule, on utilise un artifice

Attention : Pour les besoins de la cause et pour présenter cet artifice, on obligé d'utiliser la notation $d / d x$ ‍ qui signifie "dérivée par rapport à x".

Au lieu d'écrire

(x^{2})^{'} = 2 x

, on écrit :

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x

Si la variable était

a

, on écrirait :

\frac{d}{d a} (a^{2}) = 2 a

L'artifice est de remplacer

x

par une fonction. On obtient, par exemple :

\frac{d}{d (\sin (x))} (\sin (x))^{2} = 2 \sin (x)

\frac{d}{d (\sin (x))}

ne veut rien dire ! Mais si on le multiplie par

\frac{d (\sin (x))}{d x}

(qui signifie la dérivée de sin x par rapport à

x

), alors on peut simplifier par

d (\sin (x))

et on obtient :

\frac{d (\sin (x))^{2}}{d (\sin (x))} \times \frac{d (\sin (x))}{d x} = \frac{d}{d x} (\sin (x))^{2}

A priori, mathématiquement cela ne tient pas debout, car "

d x

" et "

d (\sin (x))

" ne sont ni des nombres, ni des expressions. Pour tenter une justification il faut faire appel à des notions qui dépassent largement le cadre de la question traitée ici. Donc il faut considérer cela comme un moyen mnémotechnique. L'intérêt est que cette écriture de

\frac{d}{d x} (\sin (x))^{2}

permet de trouver la dérivée de

(\sin (x))^{2}

par rapport à

x

\begin{array}{r} \frac{d}{d x} (\sin (x))^{2} = \underset{}{\underset{⏟}{\frac{d (\sin (x))^{2}}{d (\sin (x))}}} \times \underset{}{\underset{⏟}{\frac{d (\sin (x))}{d x}}} = 2 \sin (x) \times \cos (x) \end{array}

Les choses sont beaucoup plus claires si

f

u

sont des fonctions quelconques et non pas la fonction carrée et la fonction

sinus

. On obtient la formule qui se lit "la dérivée de

f (u (x))

par rapport à

x

est égale au produit de la dérivée de

f

par rapport à

u

par la dérivée de

u

par rapport à

x

" :

\frac{d}{d x} (f (u (x)) = \frac{d f}{d u} \times \frac{d u}{d x}

Exemple 1 :

\begin{aligned} f (x) & = \sin (x^{2}) \\ u (x) & = x^{2} \\ f & = \sin u \\ f^{'} (x) & = \frac{}{} (dérivée de f par rapport à u) \times u^{'} \\ f^{'} (x) & = \frac{}{} (dérivée de \sin u par rapport à u) \times dérivée de x^{2} par rapport à x \\ f^{'} (x) & = \cos u \times 2 x \\ f^{'} (x) & = \cos (x^{2}) \times 2 x \end{aligned}

Exemple 2 :

On va utiliser cette formule pour calculer la dérivée de la fonction

| x |

, que l'on peut considérer comme une fonction composée car pour tout

x

réel,

| x | = \sqrt{x^{2}}

. Par exemple,

| - 5 | = \sqrt{(- 5)^{2}} = \sqrt{25} = 5

\begin{aligned} f (x) & = | x | \\ f (x) & = \sqrt{x^{2}} \\ u (x) & = x^{2} \\ f (x) & = [u (x)]^{\frac{1}{2}} \\ f^{'} (x) & = f^{'} (u) \times u^{'} (x) \\ \frac{d f}{d x} & = (u^{\frac{1}{2}})^{'} \times (x^{2})^{'} \\ f^{'} (x) & = \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}} \times 2 x \\ f^{'} (x) & = \frac{1}{2} {(x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \times 2 x \\ f^{'} (x) & = \frac{x}{\sqrt{x^{2}}} \\ f^{'} (x) & = \frac{x}{| x |} \end{aligned}

La dérivée de la composée d'un nombre quelconque de fonctions

La formule s'applique à la composée de plus de deux fonctions. Par exemple, soient

A

B

C

D

quatre fonctions, et soit

f

la composée de ces quatre fonctions :

f (x) = A (B (C (D (x)))

Ici encore la notation

\frac{d}{d x}

est très utile. On démontre que :

\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} A (B (C (D (x))) = \frac{d A}{d B} \times \frac{d B}{d C} \times \frac{d C}{d D} \times \frac{d D}{d x}

f^{'} (x)

s'écrit :

f^{'} (x) = A^{'} (B (C (D (X)))) \times B^{'} (C (D (X))) \times C^{'} (D (X)) \times D^{'} (x)

Exemple 4 :

Soit

f

la fonction définie par

f (x) = \sin (e^{x^{2} + x})

f

est la composée des fonctions

C

B

A

, avec :

\begin{aligned} A (x) & = \sin x \\ B (x) & = e^{x} \\ C (x) & = x^{2} + x \end{aligned}

Leurs dérivées sont ;

\begin{aligned} A^{'} (x) & = \cos x \\ B^{'} (x) & = e^{x} \\ C^{'} (x) & = 2 x + 1 \end{aligned}

On applique la formule :

\begin{aligned} f^{'} (x) & = A^{'} (B (C (x))) \times B^{'} (C (x)) \times C^{'} (x) \\ = \cos (e^{x^{2} + x}) \times e^{x^{2} + x} \times (2 x + 1) \end{aligned}

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