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5e année secondaire - 4h

Cours : 5e année secondaire - 4h > Chapitre 6 

Leçon 9: La dérivée d'une fonction composée
Mathématiques
5e année secondaire - 4h
Dérivée d'une fonction
La dérivée d'une fonction composée
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Dérivée d'une fonction composée

Google Classroom
.
La formule de dérivation de la fonction composée u suivie de v est :
left parenthesis, v, ∘, u, right parenthesis, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, open bracket, v, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, prime, equals, v, prime, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Elle permet de calculer la dérivée d'une fonction composée.

Retour sur les fonctions composées

Une fonction est une fonction composée u suivie de v si on peut l'écrire sous la forme v, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Par exemple, la fonction f telle que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 est une fonction composée car si v et u sont les fonctions définies par start color #1fab54, v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54 et start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #e07d10, alors f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #1fab54, cosine, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, x, squared, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, v, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
C'est la fonction composée start color #e07d10, u, end color #e07d10 suivie de start color #1fab54, v, end color #1fab54, car on applique d'abord la fonction start color #e07d10, u, end color #e07d10, puis la fonction start color #1fab54, v, end color #1fab54,
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #1fab54, start underbrace, cosine, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, start text, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, v, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end text, end subscript, end color #1fab54
Attention si f est la fonction définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, times, x, squared, alors f n'est pas une fonction composée. C'est la fonction produit des fonctions u et v définies par v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis et u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
Exercice 1
La fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis est-elle une fonction composée ? Si oui, quelle est celle des deux premières propositions qui est vraie ?
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : Ne pas voir que la fonction est une fonction composée.

Si on ne voit pas que la fonction à dériver est une fonction composée, il n'est pas possible de calculer sa dérivée sans erreur.
Mais attention à ne pas confondre fonction produit et fonction composée. et à ne pas appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée à une fonction produit.
C'est une confusion que les élèves font souvent s'il s'agit d'une fonction trigonométrique ou d'une fonction logarithme. La fonction x, ↦, natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis est une fonction composée, alors que la fonction x, ↦, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis est une fonction produit.
Exercice 2
La fonction h définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, x est-elle une fonction composée ? Si oui, quelle est celle des deux premières propositions qui est vraie ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Autre erreur fréquente : mal identifier les fonctions u et v

Si f est la fonction u suivie de v, il ne faut pas faire d'erreur dans l'identification de u et de v.
Par exemple, si f est la fonction définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, squared, x, alors f est la fonction composée u suivie de v avec v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared et u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, x. Beaucoup d'élèves font la faute de poser v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, x.

Un exemple d'application de la formule de dérivation d'une fonction composée

Soit la fonction h définie sur ℝ par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. h est la fonction composée u suivie de v :
h(x)=( 5−6x⏞ )5⏟ u(x)=5−6xet v(x)=x5
On applique la formule :
start fraction, divided by, end fraction, open bracket, start color #1fab54, v, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54, close bracket, prime, equals, start color #11accd, v, prime, left parenthesis, start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, times, start color #ca337c, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
On multiplie l'image de start color #e07d10, u, end color #e07d10, left parenthesis, x, right parenthesis par la fonction start color #11accd, v, prime, end color #11accd par start color #ca337c, u, prime, end color #ca337c, left parenthesis, x, right parenthesis
On calcule u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis et v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
u′(x)=−6v′(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{u'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{v'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Puis :
[v(u(x))]′=v′(u(x))×u′(x)=5(5−6x)4×(−6)=−30(5−6x)4\begin{aligned} &\dfrac{}{}\left[v\Bigl(u(x)\Bigr)\right]' \\\\ =&\blueD{v'\Bigl(\goldD{u(x)}\Bigr)}\times\maroonD{u'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \times(\maroonD{-6}) \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

A vous

Exercice 3.A
  • Actuelle
Soit la fonction f, colon, x ↦ sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis.
La fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, 2, x, cubed, minus, 4, x, right parenthesis est la composée u suivie de v, avec :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
  • Actuelle
open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, prime, equals, question mark
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Exercice 5
  • Actuelle
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Exercice 6
Voici comment Camille a calculé la dérivée de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, cubed
1 : Si on pose start color #1fab54, v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, end color #1fab54 et start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, alors start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, v, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54.
2 : start color #11accd, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, end color #11accd
3 : La dérivée est start color #11accd, v, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd :
start fraction, divided by, end fraction, open bracket, start color #1fab54, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, cubed, end color #1fab54, close bracket, prime, equals, start color #11accd, 3, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, 2, x, squared, minus, 4, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, squared, end color #11accd
A-t-elle fait une erreur ?
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : oublier de multiplier par la dérivée de la fonction u

L'erreur la plus fréquente est de calculer v, prime, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis et non v, prime, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

Autre erreur fréquente : calculer v, prime, left parenthesis, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis

Une autre erreur fréquente est de calculer v, prime, left parenthesis, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis pour obtenir la dérivée de v, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Ce n'est pas v, prime, left parenthesis, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis qu'il faut calculer mais v, prime, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
A retenir : La dérivée de start color #1fab54, v, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 est start color #11accd, v, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c. Ce n'est ni start color #11accd, v, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #e07d10, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd, ni start color #11accd, v, prime, left parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, right parenthesis, end color #11accd.

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