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5e année secondaire - 4 h

Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 6

Leçon 9: La dérivée d'une fonction composée

Dérivée d'une fonction composée

La formule de dérivation de la fonction composée

u

suivie de

v

est :

(v \circ u)^{'} (x) = {[v (u (x))]}^{'} = v^{'} (u (x)) u^{'} (x)

Elle permet de calculer la dérivée d'une fonction composée.

Retour sur les fonctions composées

Une fonction est une fonction composée $u$ ‍ suivie de $v$ ‍ si on peut l'écrire sous la forme

v (u (x))

Par exemple, la fonction

f

telle que

f (x) = \cos (x^{2})

est une fonction composée car si

v

u

sont les fonctions définies par

v (x) = \cos (x)

u (x) = x^{2}

, alors

f (x) = \cos (x^{2}) = v (u (x))

C'est la fonction composée

u

suivie de

v

, car on applique d'abord la fonction

u

, puis la fonction

v

f (x) = \underset{v(u(x))}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u(x)}{\overset{⏞}{x^{2}}})}}

Attention si

f

est la fonction définie par

f (x) = \cos (x) \times x^{2}

, alors

f

n'est pas une fonction composée. C'est la fonction produit des fonctions

u

v

définies par

v (x) = \cos (x)

u (x) = x^{2}

Exercice 1

La fonction $g$ ‍ définie par $g (x) = \ln (\sin (x))$ ‍ est-elle une fonction composée ? Si oui, quelle est celle des deux premières propositions qui est vraie ?

Une erreur fréquente : Ne pas voir que la fonction est une fonction composée.

Si on ne voit pas que la fonction à dériver est une fonction composée, il n'est pas possible de calculer sa dérivée sans erreur.

Mais attention à ne pas confondre fonction produit et fonction composée. et à ne pas appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée à une fonction produit.

C'est une confusion que les élèves font souvent s'il s'agit d'une fonction trigonométrique ou d'une fonction logarithme. La fonction

x \mapsto \ln (\sin (x))

est une fonction composée, alors que la fonction

x \mapsto \ln (x) \sin (x)

est une fonction produit.

Exercice 2

La fonction $h$ ‍ définie par $h (x) = \cos^{2} x$ ‍ est-elle une fonction composée ? Si oui, quelle est celle des deux premières propositions qui est vraie ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Autre erreur fréquente : mal identifier les fonctions $u$ ‍ et $v$ ‍

f

est la fonction

u

suivie de

v

, il ne faut pas faire d'erreur dans l'identification de

u

et de

v

Par exemple, si

f

est la fonction définie par

f (x) = \cos^{2} x

, alors

f

est la fonction composée

u

suivie de

v

avec

v (x) = x^{2}

u (x) = \cos x

. Beaucoup d'élèves font la faute de poser

v (x) = \cos x

Un exemple d'application de la formule de dérivation d'une fonction composée

Soit la fonction

h

définie sur

ℝ

par

h (x) = (5 - 6 x)^{5}

h

est la fonction composée

u

suivie de

v

\begin{aligned} h (x) & = \underset{}{\underset{⏟}{(\overset{}{\overset{⏞}{5 - 6 x}})^{5}}} u (x) & = 5 - 6 x & et v (x) & = x^{5} \end{aligned}

On applique la formule :

\frac{}{} {[v (u (x))]}^{'} = v^{'} (u (x)) \times u^{'} (x)

On multiplie l'image de

u (x)

par la fonction

v^{'}

par

u^{'} (x)

On calcule

u^{'} (x)

v^{'} (x)

\begin{aligned} u^{'} (x) & = - 6 \\ v^{'} (x) & = 5 x^{4} \end{aligned}

Puis :

\begin{aligned} \frac{}{} {[v (u (x))]}^{'} \\ = & v^{'} (u (x)) \times u^{'} (x) \\ = & 5 (5 - 6 x)^{4} \times (- 6) \\ = & - 30 (5 - 6 x)^{4} \end{aligned}

A vous

Exercice 3.A

Soit la fonction

f : x

\mapsto

\sin (2 x^{3} - 4 x)

La fonction $f$ ‍ définie par $f (x) = \sin (2 x^{3} - 4 x)$ ‍ est la composée $u$ ‍ suivie de $v$ ‍, avec :

Exercice 4

[\sqrt{\cos (x)}]^{'} = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Exercice 5

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 1$ ‍	$9$ ‍	$- 1$ ‍	$- 5$ ‍	$- 6$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$- 1$ ‍	$1$ ‍	$6$ ‍

G (x) = f (h (x))

G^{'} (2) =

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Exercice 6

Voici comment Camille a calculé la dérivée de

f (x) = (2 x^{2} - 4)^{3}

1 : Si on pose

v (x) = x^{3}

u (x) = 2 x^{2} - 4

, alors

(2 x^{2} - 4)^{3} = v (u (x))

2 :

v^{'} (x) = 3 x^{2}

3 : La dérivée est

v^{'} (u (x))

\frac{}{} [(2 x^{2} - 4)^{3}]^{'} = 3 (2 x^{2} - 4)^{2}

A-t-elle fait une erreur ?

(Choix A)
Elle n'a pas fait d'erreur.
(Choix B)
Elle a fait une erreur à l'étape $1$ ‍. $f (x) = (2 x^{2} - 4)^{3}$ ‍ est égal à $u (v (x))$ ‍ et non à $v (u (x))$ ‍.
(Choix C)
Elle a fait une erreur à l'étape $2$ ‍. $v^{'} (x)$ ‍ n'est pas égal à $3 x^{2}$ ‍.
(Choix D)
Elle a fait une erreur à l'étape $3$ ‍. La dérivée n'est pas égale à $v^{'} (u (x))$ ‍.

Une erreur fréquente : oublier de multiplier par la dérivée de la fonction $u$ ‍

L'erreur la plus fréquente est de calculer

v^{'} (u (x))

et non

v^{'} (u (x)) u^{'} (x)

Autre erreur fréquente : calculer $v^{'} (u^{'} (x))$ ‍

Une autre erreur fréquente est de calculer

v^{'} (u^{'} (x))

pour obtenir la dérivée de

v (u (x))

Ce n'est pas

v^{'} (u^{'} (x))

qu'il faut calculer mais

v^{'} (u (x))

A retenir : La dérivée de $v (u (x))$ ‍ est $v^{'} (u (x)) u^{'} (x)$ ‍. Ce n'est ni $v^{'} (u (x))$ ‍, ni $v^{'} (u^{'} (x))$ ‍.

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Retour sur les fonctions composées

Une erreur fréquente : Ne pas voir que la fonction est une fonction composée.

Autre erreur fréquente : mal identifier les fonctions u‍ et v‍

Un exemple d'application de la formule de dérivation d'une fonction composée

A vous

Une erreur fréquente : oublier de multiplier par la dérivée de la fonction u‍

Autre erreur fréquente : calculer v′(u′(x))‍

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Autre erreur fréquente : mal identifier les fonctions $u$ ‍ et $v$ ‍

Une erreur fréquente : oublier de multiplier par la dérivée de la fonction $u$ ‍

Autre erreur fréquente : calculer $v^{'} (u^{'} (x))$ ‍