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5e année secondaire - 4h

Cours : 5e année secondaire - 4h > Chapitre 6 

Leçon 12: Stratégie et exercices récapitulatifs
Mathématiques
5e année secondaire - 4h
Dérivée d'une fonction
Stratégie et exercices récapitulatifs
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Des erreurs à ne pas faire et quelques points de méthode

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Il y a beaucoup de règles et de stratégies, quand il s'agit de dériver une fonction ! Prenons un peu de recul pour définir les étapes, et l'ordre dans lequel les suivre, pour réussir à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction, sans erreurs et de manière efficace.
Calculer sans erreurs la dérivée d'une fonction est parfois difficile. Nous vous donnons des conseils pour vous faciliter la tâche.
Rappel :
FonctionFormule
Puissanceopen bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, prime, equals, n, times, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Sommeopen bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, prime, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Produitopen bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, times, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, prime, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, plus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Quotientopen bracket, start fraction, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, close bracket, prime, equals, start fraction, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, minus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, divided by, open bracket, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, squared, end fraction
Composéeopen bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, close bracket, prime, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, times, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c%\dfrac\dfrac\dfrac\dfrac\dfrac
Ce sont les trois dernières formules qui font l'objet de cette leçon, car elles sont moins simples à appliquer que les deux premières.

Repérer si la fonction à dériver est le produit, le quotient ou la composée de deux fonctions

Il faut bien avoir en tête qu'il y a une différence entre une formule de dérivation relative à une fonction particulière, par exemple, la fonction x, ↦, start text, s, i, n, end text, space, x ou la fonction x, ↦, x, start superscript, n, end superscript et une formule relative au produit, au quotient ou à la composée de deux fonctions. %\sin
Dans le deuxième cas, il faut veiller à ne pas faire d'erreur sur le type de la fonction à dériver. Et il faut se poser la question "Cette fonction est-elle le produit de deux fonctions, le quotient de deux fonctions ou la composée de deux fonctions ?" Voici trois exemples :
Une fonction qui est le produit de deux fonctions : La fonction x, ↦, start color #11accd, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, end color #11accd, times, start color #ca337c, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c est le produit de deux fonctions. La formule de dérivation à appliquer est celle du produit de deux fonctions.
Une fonction qui est le quotient de deux fonctions : La fonction x, ↦, start fraction, start color #11accd, square root of, x, end square root, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction est le quotient de deux fonctions. La formule de dérivation à appliquer est celle du quotient de deux fonctions.
Une fonction composée : Soit la fonction x, ↦, left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript. Cette fonction est de la forme x, ↦, left parenthesis, g, ∘, f, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
start color #11accd, start underbrace, left parenthesis, space, start color #ca337c, start overbrace, 2, x, squared, minus, 4, end overbrace, start superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end superscript, space, end color #ca337c, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, end underbrace, start subscript, left parenthesis, g, ∘, f, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, end subscript, end color #11accd
C'est une fonction composée. Il faut appliquer la formule de dérivation de la composée de deux fonctions.
Exercice 1
Voici comment Omar a calculé la dérivée de la fonction x, ↦, left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis, times, sine, left parenthesis, x, right parenthesis
=[(x2+5x)×sin⁡(x)]′=[x2+5x]′×[sin⁡(x)]′=(2x+5)×cos⁡(x)=2x×cos⁡(x)+5×cos⁡(x)\begin{aligned} &\phantom{=}[(x^2+5x)\times\sin(x)]' \\\\ &=[x^2+5x]'\times[\sin(x)]' \\\\ &=(2x+5)\times\cos(x) \\\\ &=2x\times\cos(x)+5\times\cos(x) \end{aligned}%\dfrac\dfrac\dfrac
Sa réponse est-elle exacte question mark Sinon, quelle erreur a-t-il faite question mark
Choisissez une seule réponse :

Attention à ne pas oublier d'appliquer la formule de dérivation du produit de deux fonctions ou celle du quotient de deux fonctions.

A retenir : La dérivée du produit de deux fonctions n'est pas égale au produit de leurs dérivées.
De même, la dérivée du quotient de deux fonctions n'est pas égale au quotient de leurs dérivées.
Exercice 2
Voici comment Loïc a calculé la dérivée de la fonction x, ↦, sine, left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis
=[sin⁡(x2+5x)]′=[sin⁡(x)×(x2+5x)]′=[sin⁡(x)]′×(x2+5x)+sin⁡(x)×[x2+5x]′=cos⁡(x)(x2+5x)+sin⁡(x)(2x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}[\sin(x^2+5x)]' \\\\ &=[\sin(x)\times(x^2+5x)]' \\\\ &=[\sin(x)]'\times(x^2+5x)+\sin(x)\times[x^2+5x]' \\\\ &=\cos(x)(x^2+5x)+\sin(x)(2x+5) \end{aligned}%\dfrac\dfrac\dfrac\dfrac
Sa réponse est-elle exacte question mark Sinon, quelle erreur a-t-il faite question mark
Choisissez une seule réponse :

Attention à ne pas confondre une fonction composée avec une fonction produit.

Dans l'exercice 2, la fonction x, ↦, start color #11accd, sine, left parenthesis, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd est une fonction de la forme x, ↦, left parenthesis, g, ∘, f, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis avec g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd et f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c. Il ne faut pas la confondre avec la fonction produit x, ↦, start color #11accd, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, ×, start color #ca337c, left parenthesis, x, squared, plus, 5, right parenthesis, end color #ca337c.

Il est parfois possible d'écrire autrement la fonction à dériver, et ainsi de simplifier le calcul de sa dérivée.

Nous allons en donner trois exemples.
Plus le calcul de la dérivée est simple, moins on a de chances de faire une erreur !

Parfois on peut mettre la fonction produit à dériver sous la forme d'un polynôme.

Par exemple, soit la fonction f, colon, x, ↦, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis. C'est une fonction produit. Mais left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 2, x, minus, 15, donc on peut en déduire très facilement que f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 2.
Il aurait été beaucoup plus fastidieux d'utiliser la formule de dérivation d'une fonction produit.
En utilisant la formule de dérivation du produit de deux fonctionsEn appliquant à chacun des termes la formule de dérivation d'une puissance
=[(x+5)(x−3)]′=[x+5]′×(x−3)+(x+5)×[x−3]′=1×(x−3)+(x+5)×1=x−3+x+5=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}[(x+5)(x-3)]'\\\\&=[x+5]'\times(x-3)+(x+5)\times[x-3]'\\\\&=1×(x-3)+(x+5)×1\\\\&=x-3+x+5\\\\&=2x+2\end{aligned}=[(x+5)(x−3)]′=[x2+2x−15]′=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}[(x+5)(x-3)]'\\\\&=[x^2+2x-15]'\\\\&=2x+2\end{aligned}%\dfrac\dfrac\dfrac\dfrac\dfrac
Bien sûr, on peut utiliser l'une ou l'autre de ces deux méthodes. Mais c'est la méthode où on applique à chacun des termes la formule de dérivation d'une fonction puissance qui est la plus rapide et où le risque de faire une erreur est le moindre.
Exercice 3
Soit la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis
Est-il possible d'écrire f, left parenthesis, x, right parenthesis autrement pour pouvoir calculer sa dérivée en utilisant uniquement la formule de la dérivée d'une puissance de x ? Cocher l'expression de f, left parenthesis, x, right parenthesis qu'il faut utiliser.
Choisissez une seule réponse :

Il en est de même avec certaines fonctions dont l'expression est un quotient.

On peut calculer la dérivée de la fonction x, ↦, start fraction, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 8, x, cubed, divided by, 2, x, squared, end fraction en utilisant la formule de dérivation du quotient de deux fonctions. Mais on peut aussi écrire cette fonction sous la forme x, ↦, 0, comma, 5, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, et appliquer à chacun de ses termes la formule de dérivation d'une puissance. La dérivée obtenue est la fonction x, ↦, 2, x, cubed, minus, 4. Attention dans ce cas-là à ne pas oublier de préciser que x doit être différent de 0 car la fonction donnée n'est pas définie en 0 et donc, sa dérivée ne l'est pas non plus.
Bien sûr, on obtient le même résultat si on utilise la formule de dérivation du quotient de deux fonctions, mais on a plus de risque de faire une erreur de calcul.
Attention, transformer l'expression du quotient de deux fonction n'est pas toujours possible. Par exemple, on ne peut pas écrire la fonction x, ↦, start fraction, x, squared, plus, 5, x, minus, 14, divided by, x, minus, 7, end fraction sous forme d'une fonction polynôme.
A retenir : 1. On peut toujours appliquer cette méthode si le dénominateur est un monôme.
2. Si le dénominateur est un polynôme, il est parfois possible de factoriser les deux termes de la fraction, puis de la simplifier.
3. Il ne faut pas oublier de déterminer le domaine de définition de la fonction donnée.
Exercice 4
Soit la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 2, x, cubed, minus, 8, x, squared, divided by, x, end fraction
Est-il possible d'écrire f, left parenthesis, x, right parenthesis autrement pour pouvoir calculer f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis en appliquant à chacun de ses termes la formule de la dérivée d'une puissance de x question mark Cocher l'expression de f, left parenthesis, x, right parenthesis, où x, does not equal, 0, qu'il faut utiliser.
%\textit{x}\textit{0}
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exemple :

La formule de dérivation du produit de deux fonctions est plus simple à mémoriser que celle du quotient de deux fonctions. Si le dénominateur de la fonction donnée est un monôme, on peut toujours l'écrire sous la forme d'un produit de deux fonctions. Voici un exemple :
Soit à calculer la dérivée de la fonction x, ↦, start fraction, square root of, x, plus, 3, end square root, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction. Il s'agit de calculer la dérivée d'un quotient de deux fonctions, mais en fait, pour écrire l'expression de cette fonction sous forme d'un produit, il suffit de penser à écrire 1, slash, x, start superscript, 4, end superscript sous la forme x, start superscript, minus, 4, end superscript :
x+3x4=x+3×1x4=x+3×x−4\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^4}&=\sqrt{x+3}\times \dfrac{1}{x^4}=\sqrt{x+3}\times x^{-4} \end{aligned}
On peut donc calculer sa dérivée en utilisant la formule de dérivation du produit de deux fonction. (Mais attention à ne pas oublier que la fonction x, ↦, √, x, plus, 3 est une fonction composée.)
Exercice 5
Soit la fonction h définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 3, x, end fraction
Est-il possible d'écrire h, left parenthesis, x, right parenthesis autrement pour pouvoir calculer h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis en utilisant la formule de la dérivée du produit de deux fonctions question mark Cocher l'expression de h, left parenthesis, x, right parenthesis qu'il faut utiliser.
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Un conseil : Utiliser une égalité telle que start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 3, end superscript ou telle que square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript, peut beaucoup simplifier le calcul d'une dérivée. Pour revoir comment écrire l'inverse d'une puissance en utilisant les exposants négatifs, ou un radical sous forme d'une puissance, vous pouvez faire ces exercices :

À retenir

Pour calculer une dérivée sans erreur, il faut, bien sûr, connaître les formules. Mais il ne faut pas oublier que parfois, le calcul d'une dérivée est grandement simplifié si on écrit autrement l'expression de la fonction à dériver.
En résumé :
Un diagramme résume la méthode en 2 étapes, comme suit. Étape 1. étude de la fonction. Les 3 catégories sont des produits ou des quotients de deux fonctions, fonction composée et fonction de référence. Des exemples de fonctions de référence incluent x à la puissance n, sinus de x, cosinus de x, e à la puissance x, et le log naturel de x. Si la fonction est un produit ou un quotient, posez la question est-il possible d'écrire autrement la fonction à dériver pour simplifier le calcul de la dérivée ? Si oui, écrire autrement la fonction puis revenez à l'étape 1. Si non, passez à l'étape 2. Si la fonction est une fonction composée ou de référence, passez à l'étape 2. L'étape 2 consiste à utiliser la formule de dérivation appropriée.

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