Calculer la dérivée de f après avoir mis f(x) sous une autre forme

bonjour alors tu auras reconnu probablement que les formules que j'ai écrites ici ce sont des formules principales qui sont utiles pour dériver une fonction donc si tu comprends pas du tout ce que j'aime ici c'est peut-être pas le bon moment pour regarder cette vidéo je t'engage dans ce cas là à les regarder d'abord toutes les vidéos qu'on a fait sur les dérivés parce qu'en fait le but de cette vidéo ça va être plutôt d'essayer de voir quelle stratégie on peut utiliser pour calculer la dérive et d'une fonction donc quelle formule on doit appliquer et aussi est ce qu'on ne peut pas par exemple simplifié la fonction algébrique mans pour la dérive et plus facilement donc je vais quand même rappeler rapidement ce que sont toutes ces formules ici la première c'est la dérive et d'une fonction puissance donc ça c'est pour dériver une fonction puissance celle ci c'est la dérive et d'un produit de deux fonctions la formule qui est dessous c'est la formule d'un quotient la dérivée d'un quotient et enfin la dernière formule c'est celle qui sert à dériver une fonction composer une fonction composer je vais commencer par te proposer une fonction x au carré +6 - 2 aura six mois-un et donc on va essayer de calculer la dérive et de cette fonction-là ce que j'indique comme ça voilà alors évidemment ici probablement la première chose qui saute aux yeux c'est que c'est un quotient donc xo carey + 6 - 2 / x moisins donc c'est un quotient de deux polynôme et dans ce cas là effectivement la formule la plus adaptée c'est la formule du quotient avec ici eve 2 x qui est égal à ceux polynôme là et g2x à ce polynôme l'a donc tu peux très bien appliqué cette formule là et si tu fait tous les calculs sans se tromper bien sûr tu arriveras effectivement à exprimer la dérive et de cette fonction cela dit quand tu as un quotient comme ça de deux polynôme ça vaut peut-être le coup de prendre un petit peu de temps pour regarder si tu peux pas simplifier son expression par exemple ici ce qu'on peut regarder c'est si on peut pas exprimer le numérateur de manière différente en le factories ans par exemple pour voir si après on pourra pas simplifié quelque chose alors il se trouve qu'ici le polynomics o car est plus 6 - 2 eh bien on peut le factoriser comme ça c'est x + 2 facteur 2 x - 1 du coup dans ce quotient on peut effectivement simplifiée par x - un haut et en bas diviser le numérateur et le dénominateur paris xe - 1 et du coup en fait cette fonction là elle est algébrique mans équivalente à tout simplement ce facteur x + 2 évidemment en tenant compte bien sûr des valeurs interdite donc ici en fait ce que ça veut dire c'est que la dérive et de cette fonction là et bien en fait c'est tout simplement la dérive et 2x plus 2 voilà donc pour calculer la dérive et 2x plus 2 donc là c'est très simple on va calculer la dérive et 2x qui est égal à 1 plus la dérive et 2 2 qui est égal à zéro donc tu vois que là en fait en prenant un tout petit peu de temps pour simplifier l'expression qui nous est donnée le quotient qui est donnée ici la fraction rationnelle et bien on arrive à calculer cette dérive est très rapidement en faisant beaucoup moins de calcul que si on avait utilisé cette formule alors on va prendre un deuxième exemple imaginons qu'on te demande de calculer la dérive et de cette fonction-là x au carré plus 2x moins 5 / x voilà donc on te demande de calculer cette dérive et alors probablement ton premier réflexe puisque c'est un quotient c'est une fraction rationnelle un quotient de deux polynôme comme tout à l'heure le premier réflexe est d'aller vers cette formule là de la dérivée d'un quotient alors ça marcherait effectivement comme tout à l'heure si tu fait tous les calculs correctement tu arriveras ex a trouvé une expression de la dérive et qui sera la bonne mais ici aussi on peut essayer de faire différemment donc ici paraît que je vais me focaliser sur la fonction elle même et je vais l'écrire différemment et une chose qu'on pourrait faire c'est à dire que c'est un produit de 1 sur x fois le polynôme qui est au numérateur autrement dit on pourrait même considérer ça comme la fonction x puissance moins 1 fois le polynôme x o car est plus 2x moins 5 et dans ce cas là on pourrait plutôt utilisé la formule du produit de deux fonctions sachant que la première est une puissance donc on peut calculer sa dérive est assez facilement mais ici en fait il ya quelque chose d'encore plus simple c'est de décomposer cette fraction au rationnel en une somme en fait ce que je vais faire c'est écrire ça comme ça xo carrés sur x + 2 x sur x - 5 sur x et donc ça je peux l'écrire encore plus simplement x au carré sur x et bien c'est x 2 x sur x ces deux donc les x + 2 et puis -5 sur x et -5 sur x en fait c'est moins 5 x x puissance moins ça et là tu vois qu'on obtient une expression qui est beaucoup plus simple à dériver puisqu'on va tout simplement dérivés une somme différence de fonction est utilisé pour la dernière la formule de dérivation d'une fonction puissance en fait ça c'est égal à la dérive et 2x plus de - 5 x puissance - 1 et donc ça c'est égal à la dérive et 2x qui est égal à 1 on l'a vu tout à l'heure plus la dérive et de deux quêtes égal à zéro moins cinq fois la dérive et 2x puissance - 1 alors pour calculer la dérive et 2x puissance - tu vois on à l'exposant qui est moins un ici qui descend de vent donc ça va me donner moins cinq fois moins 1 c'est à dire plus 5 et puis les exposants qui étaient galicia - 1 il est diminué de une unité donc cx puissance - 1 - 1 c'est-à-dire x puissance - 2 donc là si tu veux je reprends l exposant qui descend ici donc on a moins cinq fois moins 1 et puis maintenant l'exposant de xc sept exposants qui avaient avant diminué de une unité donc moins en moins ça fait moins 2 voilà tu crois que là on m'a déterminé pratiquement sans calcul enfin avec des calculs très très simple la dérive et de cette fonction mais tu aurais obtenu le même résultat en utilisant dès le départ cette formule a mais en faisant beaucoup plus de calculs voilà alors on va faire un autre exemple je vais supprimer tout ça voilà et cette fois ci on va essayer de dérivés cette fonction la racine de x sur x puissance de x au carré voilà alors on voudrait calculer la dérive et de cette fonction là alors mais la vidéo sur pause essaye de le faire de ton côté et je te rappelle que le but ce n'est pas de se précipiter sur une formule mais d'essayer de comprendre s'il n'y a pas on ne peut pas faire que des simplifications ou exprimer différemment notre fonction pour calculer plus facilement sa dérive est à toi de jouer et on se retrouve tout à l'heure alors effectivement ici on est comme dans les deux cas précédents on présence d'un quotient de deux fonctions donc on pourrait avoir l'impression qu'il faut utiliser cette formule là et comme tout à l'heure si tu fais ça je te dirai oui tu as raison tu peux le faire mais là encore tu vas faire des calculs assez compliqué est inutile que tu peux éviter donc voilà l'idée en fait ici c'est de comprendre que racine carrée de x en fait c'est une fonction puissance racine carrée de x cx puissance 1/2 donc finalement notre fonction ici c'est racine carrée de x sur x au carré donc c'est x puissance 1/2 sur helix au carré donc là on peut appliquer on a des puissances d'une même base x donc on peut appliquer la règle de division des puissances en fait ça c'est x puissance 1/2 -2 et 1/2 -2 et bien ça fait -3 2 me donc en fait ici on obtient x puissance -3 2 me donc tu vois que finalement cette fonction-là qui a l'air un peu compliqué fonctions opérationnelles avec une racine carrée un quotient en plus et bien en fait c'est une fonction puissance donc pour la dérive et bien on va tout simplement utiliser cette règle la de dérivation des fonctions puissance donc ça va me donner en fait cette dérive et là c'est la dérive et de la fonction x puissance - 3/2 3/2 c'est moins trois demis x x puissance -3 2 me -1 l'exposant est diminuée de une unité donc moins trois demis - un bon là je vais faire un peu de séparation ici pour compte s'ils perdent pas trop alors maintenant on va exprimer cette fonction là un petit peu mieux donc c'est moins trois demis x x puissance -3 2 me -1 ça fait moins 5 2 me voilà tu veux encore on a réussi à s'éviter pas mal de calcul donc c'est vraiment quelque chose que tu dois garder en tête avant de te lancer dans des calculs essaye de voir si tu peux pas faire des changements exprimer les choses différemment pour que ce soit plus simple alors là je vais t'en donner une autre on va essayer de calculer la dérive et de cette fonction là qui va être tout simplement un sûr 2x moins 5 donc ça c'est pas très compliqué comme fonction c'est un quotient donc probablement tu vas te diriger d'abord vers cette formule là ça marchera ça sera pas très très compliqué mais je trouve qu'il ya des manières un peu plus simple d'aborder sa et pour ça on pourrait écrire cette fonction là comme en fait 1 sur 2 x - 5 c 2x moins cinq puissances - 1 et du coup on fait pour calculer cette dérive est là la dérive et de cette fonction-là qui elle a même gelé juste écrite différemment on va pouvoir utiliser deux formules la formule de la dérivation d'une fonction puissance ici et puis la formule de la dérivation d'une fonction composé puisque ici on peut écrire que la à l'intérieur j'ai g2x et donc la fonction que j'ai ici en fait c'est g2x puissance - 1 voilà donc c'est une fonction composé d'une fonction puissance et la fonction qui est à l'intérieur c'est g2x qui est égal à 2x moins 5 alors quand je dérive ça quand je dérive ça j'ai d'abord la dérive et de gdx geprim 2x et g2x et 2x moins 5 donc j'ai primes de x ces deux x la dérive et de rff primes de x calculé en g2x alors la fonction f ici cx puissance - 1 donc sa dérive et c'est moins 1 facteur 2 x puissance 1 - 1 de puissance - 2 voilà je l'écris comme ça et je l'écris comme ça parce que on doit prendre cette dérive et non par an x mais angers 2 x donc j'ai 2 x en fait c'est 2 2x moins 5 voilà donc là j'ai terminé je peux quand même simplifier un petit peu le résultat deux fois moins 1 ça fait moins 2 x 2 x - cinq puissances - 2 alors tu peux le laisser comme ça ou alors tu peux écrire sa com - 2 / 2x moins 5 au carré ce qui revient exactement au même voilà donc ça c'est une autre manière de faire qui est plus rapide je pense plus simple que l' utiliser la formule de la dérivée d'un caution allez on en fait encore un et rappelle toi je te montre différentes manières d'aborder les choses n'est pas forcément une manière qui est toujours beaucoup mieux que les autres et là on va essayer de calculer la dérive et de cette fonction-là 2x plus un au carré aurait très bien imaginer utiliser la formule d'une fonction composé puisque ici et qu'on est exactement dans le même cas que tout à l'heure on a une fonction j'ai à l'intérieur ici et donc notre fonction en fait c'est g2x g2x élevée au carré donc dans ce cas là on pourrait calculer ça comme ça ça nous donnerait g primes de x qui est égale à deux fois la fonction x o car est calculé en g2x donc la dérive et de xo caresser 2x donc ici on aurait fois deux fois g2x qui est donc 2 x + 1 donc on peut créer c'est un petit peu mieux ça donne 4 x 2 x + 1 et là on peut même distribué le 4 ça donne 8 x + 4 voilà c'est une manière qui est rapide marche très bien mais ici je pense que moi spontanément ce que j'aurais fait c'est plutôt développer l'expression de ma fonction parce que 2 x + 1 au carré et bien c'est 4x au carré plus 4x plus un ça je le fais très rapidement et ce que je sais ensuite c'est que la dérive et de cette fonction là bien donc je vais pouvoir l'a calculé de cette manière là c'est la dérive et de ce polynôme 2° 2 et là je peux tout simplement dérivés terme à terme donc ici ça va me donner quatre fois la dérive et 2x au carré donc 4 x 2 x donc 8x plus la dérive et de 4x qui est égal à 4 plus la dérive et 2 1 qui est égal à zéro tu vois que l'âge arrive peut-être encore plus rapidement et surtout sans devoir appliquer pratiquement aucune formule voilà donc j'espère que cette vidéo tu auras aider à comprendre qu avant de te lancer dans des calculs il vaut mieux s'arrêter un peu et essayer de voir quel est le meilleur chemin pour arriver à ses fins le plus rapidement possible et avec le moins d'effort possible