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5e année secondaire - 4 h
Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 4
Leçon 6: Les limites au service du graphique d'une fonction- Les asymptotes à la courbe représentative d'une fonction rationnelle
- La courbe représentative d'une fonction polynôme
- La courbe représentative d'une fonction polynôme : trois exercices qui sont autant de défis
- Associer l'expression d'une fonction rationnelle à sa courbe représentative
- L'hyperbole représentative d'une fonction homographique 1
- L'hyperbole représentative d'une fonction homographique 2
- Encore un exemple de fonction rationnelle
- Courbe d'une fonction rationnelle dont les deux termes sont du second degré
- Comportement d'une fonction rationnelle aux points où elle n'est pas définie
- Comportement d'une fonction rationnelle aux points où elle n'est pas définie - 2
- Identifier la courbe représentative d'une fonction rationnelle en utilisant son point d'intersection avec l'axe des ordonnées
- Limites d'une fonction rationnelle aux points où elle n'est pas définie
- Identifier la courbe représentative d'une fonction rationnelle en utilisant ses points d'intersection avec l'axe des abscisses
- Comportement d'une fonction rationnelle aux points où elle n'est pas définie
- Limites infinies et limites à l'infini
La courbe représentative d'une fonction polynôme
Utiliser les propriétés d'une fonction polynôme pour en déduire l'allure de sa courbe représentative.
Les prérequis
Les limites à l'infini d'une fonction polynôme, c'est-à-dire les réponses à ces deux questions :
- Quelle est la limite de
si - Quelle est la limite de
si
Ce sujet est traité dans la leçon Limites à l'infini d'une fonction polynôme.
Les racines de la fonction polynôme sont les abscisses des points communs à la courbe de et à l'axe des . Si une racine de est d'ordre impair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de coupe l'axe des . Si une racine de est d'ordre pair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de est tangente à l'axe des .
Si besoin, reportez-vous à la leçon Associer un polynôme à sa représentation graphique en utilisant ses racines.
Le sujet traité
Ici, on se sert de ces propriétés pour donner l'allure de la courbe représentative de la fonction polynôme étudiée.
Un exemple
Que sait-on de la courbe représentative de la fonction définie par ?
Son point d'intersection avec l'axe des ordonnées
On calcule l'image de .
L'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des est .
Ses points communs avec l'axe des abscisses
On résout l'équation .
Les couples de coordonnées de ses points communs avec l'axe des sont et .
Son comportement à l'infini
La limite d'une fonction polynôme quand tend vers l'infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
On développe .
Le terme de plus haut degré est , donc les limites de quand tend vers ou vers sont les même que celles de .
L'allure de la courbe de la fonction
On utilise les résultats précédents.
D'abord les limites de à l'infini :
- Si
, . - Si
, .
Pour les très grandes valeurs de en valeur absolue, la courbe de se comporte comme la courbe de la fonction qui à fait correspondre .
Maintenant les point d'intersection avec l'axe des :
est une racine double donc la courbe de est tangente à l'axe des au point de coordonnées . est une racine simple donc la courbe de coupe l'axe des au point de coordonnées .
Enfin, on sait que le point d'intersection de la courbe de et de l'axe des est le point de coordonnées . On en déduit l'allure de la courbe de .
Même si on ne sait pas quelle est exactement abscisse du minimum, on a une bonne idée de l'allure de la courbe de !
Les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative.
On peut répondre à la question de savoir sur quels intervalles la fonction est positive et sur quels intervalles elle est négative.
On lit que est positive si et négative si ou si .
A vous !
1) La fonction est définie par .
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