Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons des problèmes de chargement de données externes.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenu principal

La courbe représentative d'une fonction polynôme

Utiliser les propriétés d'une fonction polynôme pour en déduire l'allure de sa courbe représentative.

Les prérequis

Les limites à l'infini d'une fonction polynôme, c'est-à-dire les réponses à ces deux questions :
  • Quelle est la limite de f(x) si x+ ?
  • Quelle est la limite de f(x) si x ?
Ce sujet est traité dans la leçon Limites à l'infini d'une fonction polynôme.
Les racines de la fonction polynôme f sont les abscisses des points communs à la courbe de f et à l'axe des x. Si une racine de f est d'ordre impair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f coupe l'axe des x. Si une racine de f est d'ordre pair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f est tangente à l'axe des x.

Le sujet traité

Ici, on se sert de ces propriétés pour donner l'allure de la courbe représentative de la fonction polynôme étudiée.

Un exemple

Que sait-on de la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=(3x2)(x+2)2 ?

Son point d'intersection avec l'axe des ordonnées

On calcule l'image de 0.
f(x)=(3x2)(x+2)2f(0)=(3×02)(0+2)2f(0)=2×4f(0)=8
L'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des y est 8.

Ses points communs avec l'axe des abscisses

On résout l'équation f(x)=0.
f(x)=(3x2)(x+2)20=(3x2)(x+2)2
3x2=0oux+2=0x=23oux=2
Les couples de coordonnées de ses points communs avec l'axe des x sont (23 ;0) et (2 ; 0).
23 est une racine simple et 2 est une racine double. Donc la courbe de la fonction f coupe l'axe des x au point de coordonnées (23 ; 0) et elle est tangente à l'axe des x au point de coordonnées (2 ; 0).

Son comportement à l'infini

La limite d'une fonction polynôme quand x tend vers l'infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
On développe f(x).
f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x2x28x8f(x)=3x3+10x2+4x8
Le terme de plus haut degré est 3x3, donc les limites de f(x) quand x tend vers ou vers + sont les même que celles de 3x3.
3x3 est de degré impair et 3 est positif, donc si x+, f(x)+ et si x, f(x).

L'allure de la courbe de la fonction f

On utilise les résultats précédents.
D'abord les limites de f à l'infini :
  • Si x+, f(x)+.
  • Si x, f(x).
Pour les très grandes valeurs de x en valeur absolue, la courbe de f se comporte comme la courbe de la fonction qui à x fait correspondre x3.
Maintenant les point d'intersection avec l'axe des x :
  • 2 est une racine double donc la courbe de f est tangente à l'axe des x au point de coordonnées (2 ; 0).
  • 23 est une racine simple donc la courbe de f coupe l'axe des x au point de coordonnées (23 ; 0).
Enfin, on sait que le point d'intersection de la courbe de f et de l'axe des y est le point de coordonnées (0 ; 8). On en déduit l'allure de la courbe de f.
Même si on ne sait pas quelle est exactement abscisse du minimum, on a une bonne idée de l'allure de la courbe de f !

Les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative.

On peut répondre à la question de savoir sur quels intervalles la fonction est positive et sur quels intervalles elle est négative.
On lit que f est positive si x>23 et négative si x<2 ou si 2<x<23.

A vous !

1) La fonction f est définie par f(x)=(x+1)(x2)(x+5).
a) Quel est le couple de coordonnées du point d'intersection avec l'axe des y de la courbe de la fonction f?
(0,
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)

b) Si f(x)=(x+1)(x2)(x+5), alors...
Choisissez une seule réponse :

c) Quels sont les couples de coordonnées des points communs à la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=(x+1)(x2)(x+5) et à l'axe des x?
Choisissez une seule réponse :

d) Laquelle de ces courbes peut être celle de la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
Choisissez une seule réponse :

2) Laquelle de ces courbes peut être la courbe représentative de la fonction qui à tout x réel fait correspondre y=(2x)(x+1)2
Choisissez une seule réponse :

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.