Encore un exemple de fonction rationnelle

traçons le graphe d'une autre fraction rationnel il faut ça fait pas de mal de pratiquer un petit peu donc on va prendre par exemple y égale x sur un x au carré - x - 6 alors la première chose qu'on va faire c'est évidemment identifier les symptômes et pour identifier les asymptote verticale il faut savoir où le dénominateur ça nul parce que c'est à l'endroit où le dénominateur s'annulent fonction n'est pas défini qu'on a une chance d'avoir noah symptômes verticale donc on va factoriser par la méthode de factorisation du trinôme quel est le nombre dont lequel sont les nombres dont le produit me donne moins 6 et dont la somme de 2 - 1 ils doivent être de signes différentes x plus quelque chose soit exploit quelque chose et donc pour obtenir un produit de moins et une somme de -6 ça doit être deux et moins trois mamans on y réfléchit quelques secondes on le trouve donc notre dénominateur ce factories en x + 2 x x - 3 ça marche bien et je peut réécrire l'expression de la fonction sous la forme x sur x + 2 x x - 3 et comme je remarque que mon x + 2 et - 6 - 3 ne vont pas être s'amplifia bhl par quelque chose de numérateur de la fonction j'ai pas grand chose au numérateur de la fonction je vais pas pouvoir simplifier le x + 2 je vais pas pouvoir simplifier le xe - 3 ça ça me donne l'intuition sans que ce soit une vraie preuve mais on va prendre ça comme ça que on a une asymptote à l'endroit où c'est ou la fonction est indéfini c'est à dire en moins deux et en 3 on a une asymptote là où ces expressions s'annulent c'est à dire en moins en x égal moins deux et en onyx égal 3 on va donc avoir deux asymptote verticale parce que le numérateur ne va pas d'être nul est le dénominateur pour ces valeurs là va être nul et donc traçons nos asymptote voilà pour x égales - 2 et quant à x égal 3 c'est cette droite verticale là et voilà notre deuxième asymptote verticale et maintenant essayons de voir les à 70 horizontal dans qu'est ce qui se passe lorsque x devient très très grand positif ou très très grand en négatif et comme on l'a déjà dit précédemment il faut regarder les termes de plus haut degré au numérateur et le dénominateur le terme de plus haut degré au numérateur cx le terme de plus haut degré au dénominateur cx carré et là ils sont pas du même degré le degré du dénominateur et plus grand donc ça veut dire que y vers l'infini lorsque externe vers l'infini y va être équivalent à x sur x car et c'est à dire 1 sur x et un sur x lorsque l'ex devient très très grand c'est tout petit c'est tout petit impensé pense un sur un million 1 sur 1 milliard c'est 0,0000 quelque chose donc lorsque x devient très grand hic sur x carey qui est équivalent 1 sur x va devenir tout petit et l'expression de cette fonction va va être très proche de quelque chose qui est tout petit donc elle va être très très proche de zéro et donc je vais avoir une asymptote en y égal zéro du monde a sa méthode c'est tout simplement l'ex des abscisses achever leur passé sous forme d'un symptôme pour qu'on voit que c'est bien là que des abscisses qui est à 70 en y égal 0 donc je répète on regarde les thèmes de plus haut degré et quand le terme de et quand le tenais quand le dénominateur et de plus haut degré que le numérateur ça veut dire que le dénominateur va grandir beaucoup plus vite que le numérateur et qu'on va se retrouver lorsque x tend vers l'infini avec un dénominateur beaucoup plus grand que le numérateur et quand on divise un nombre par un beaucoup plus grand on devient on obtient des résultats qui sont très très proches de zéro voilà qu'est ce qu'on peut qu'est-ce qu'on peut faire on peut faire des essais à la calculatrice un c'est pas une preuve de faire des essais à la calculatrice mais ça te montrera bien ce qui se passe donc on va essayer pour x égale 10 donc on tape 10 / 10 au carré - 10 - 6 et on demande le résultat et on s'attend à trouver évidemment des résultats qui sont pas très loin de zéro tu vois 0,11 0.19 effectivement c'est pas très très grand eh ben l'idée c'est est-ce que ça se rapproche de zéro lorsqu'à la place de 10 mais un nombre plus grand donc on va essayer sans donc essayons sans est effectivement là je me rends je me suis pas mal rapprocher de zéro puisque là cette fois je suis à 0,01 et quelques et bond ainsi tu veux essayer tu peux toujours essayer mille dix mille et tu vas voir qu effectivement se rapproche de plus en plus 2 0 et donc voilà on a on est à peu près certains n'osent asymptote la dernière chose qu'on veut faire c'est d'essayer d'obtenir quelques points sur le graphe de la fonction pour voir de quoi elle allait rentrer les asymptote donc essayons de calculer des images tout simplement essayé de calculer l'image de x égal 0 et donc y c zéro sur ça fait faire zéro sur mon 1 6 à 2 0 essayons 1 donc lorsque x égal 1 y est égal à 1 sur 1 au carré - 1 ça fait zéro donc il reste moins 6 et donc ça me donne moins un sixième lorsque x égal 1 si j'essaye - 1 alors lorsqu'il s'était gala - y est égal à - 1 / - au carré ça fait 1 - - attention aux signes - - 1 ça fait plus 1 et il reste le moins six donc ça ça nous donne 1 - 1 sur 2 - si c'est à dire moins un sur -4 1 plus ou moins si ça fait moins quatre autrement dit c'est un quart est donc ça nous donne une valeur positive donc on va mettre les points sur leurs pairs donc on a moins un quart qui va se trouver à peu près ici hein c'est très proche de las des abscisses ans car ces tout petits 0 0 au bas c'est l'origine et 1 - 1 6e arras est encore plus proche de ceux des abscisses ton confessa approximativement ça nous donne ceci est donc on pourrait si on voulait calculez 18h pour avoir beaucoup plus de points mais on peut se douter en voyant la lure des trois points qu'on a obtenu que on va rire on va aller vers plus l'infini par ici et on va essayer de le retrouver en examinant l'expression de la fonction donc si on se rapproche de -2 par valeurs positives valeur supérieure c'est-à-dire moins en 1999 le x + 2 va être tout petit mais il va être positif le xe - 3 lui va être négatif et le x en eau va être négatif donc on va avoir négatif sur négatif ça donne positif on va avoir un résultat positif avec un nombre de taille raisonnable / un homme qui est tout petit donc ça va nous donner vraiment un nom très très grand positif et on voisinage de -3 ça nous donne un grave on va essayer de bien le tracé voilà qui a l'air de tendre vers moins l'infini et comment on aurait pu retrouver sa - au voisinage de -3 par valeur inférieure c'est moins 2,9 9,9 par exemple donc moins 2,9 9 2.999 pardon c'est c'est numérateur positif le dénominateur lui il est négatif fois positif donc il est négatif et comme il va être tout petit je vais avoir un nombre qui va être très très grand négatif et donc on peut se douter que effectivement ça va se mettre à tendre vers moi infinie que la courbe va avoir cette allure là donc essayons de voir à l'extérieur d assam tonnes ce qui se passait c'est ont 4 donc l'image de 4 ça va être quatre sur quatre au carré ses 16 - 4 - 6 et en calculant tout ça 16 - 10 ça nous donne 6 c'est donc 4/6 4/6 ces deux tiers donc on va avoir le point 4 deux tiers donc quatre deux tiers ça se trouve à peu près ici est on est on peut penser que si les choses se passent bien s'il ya pas de problème de variation à droite de la sainteté eh bien on va se rapprocher de la 70e verticale avec une courbe qui a cette allure là c'est à dire que lorsque je me rapproche de 3par valeur supérieure je vais me rapprocher d'eux je vais être ça va tendre vers plus l'infini et lorsque je me rapproche de plus l'infini ça à tendre vers zéro tout en restant au dessus de la samp tonnes alors ça si on voulait vraiment en être sûr faudrait le prouver en faisant des tableaux de variation en divisant la fonction comme il faut on va juste se contenter de ça pour cette vidéo on peut supposer que la fonction fait comme ceux ci mais rigoureusement c'est vrai qu'on a pas prouvé qu'elle se met pas par exemple a oscillé à droite deux à droite de 4,1 donc c'est pas très rigoureux mais bon c'est ce qu'on a on va essayer -3 donc moins trois son image c'est moins 3 sur neuf plus trois attention aux signes -6 et donc ça nous donne moins 3 6e ce qui fait moins un demi donc l'image de -3 à juste à gauche de la symptômes verticale c'est moins un demi et de la même manière sans que ce soit vraiment rigoureux on pourrait essayer de de mettre plus de points ce serait pas ne se serait pas beaucoup plus rigoureux mais on peut se douter que la courbe se rapproche des asymptote en ayant cette allure là que je suis en train de tracer et si on veut avoir un peu plus de certitudes et man va demander à la calculatrice graphique wahou logiciel de géométrie dynamique de tracer le graphe de cette fonction