L'hyperbole représentative d'une fonction homographique 1

nous avons ici dessiner le graphe de la fonction fgx est égal à 2 x + 10 sur 5 x - 15 voilà donc on peut se rendre compte plus ou moins l'idée c'est d'essayer de se demander comment est-ce que j'aurais pu savoir à quoi ressemblait le graphe de la fonction 2x plus dix sur cinq geeks -15 s'il n'était pas dessiner comment j'aurais pu deviner que le graff de cette fonction ressemble à ça eh ben on aurait pu essayer par exemple ainsi la l'on suppose évidemment que vous savez pas étudié rigoureusement une fonction si vous savez étudié rigoureusement une fonction en faisant la dérive est alors la question ne se pose plus vous faites l'étude de la fonction mais en supposant qu'on sache pas rigoureusement étudier une fonction on peut quand même essayer de deviner ce qui se passe en faisant des essais on peut par exemple essayer de se demander quelle pourrait-être l'image de zéro lorsque grand-place x par 0 et bien l'image de 0,1 c x va devenir 0 donc deux fois 0 ça va disparaître 5 3 0 ça à disparaître il nous reste 10 / - 15 qui vaut moins deux tiers et le moins 2/3 ben on va on voit bien que lorsque ça va nous donner le point qui se trouvent ici là l'intersection de l'axé des ordonnées on peut aussi se demander quand est-ce que cette fonction s'annulent quand est ce que f 2 x est égal à zéro et bien une fraction c'est nul quand son numérateur s'annulent cette fonction ça nulle lorsque 2x plus 10 est égal à zéro et l'âge résout l'équation j'ajoute moins 10 a fait 2 x égal moins 10 je divise par deux ça fait x égal moins 5 ça veut dire que la valeur de cette fonction est nulle lorsque xv au moins 5 et où est ce que ça se voit sur le graphe ben ça se voit à l'intersection voit bien que saku place des abscisses enfin on voit bien on on a l'air de deviner que saku place des abscisses ans au point weeks est égal à moins 5 bon c'est pas avec deux points c'est pas avec juste deux points qu'on va deviner le reste de la lure de la fonction alors comment est-ce qu'on pourrait savoir comment est-ce qu'on pourrait deviner que la fonction à cette allure-là indépendamment en dehors de ces deux points là ce que deux points ça nous dit pas grand chose eh ben on peut essayer de voir ce qui se passe lorsque la fonction n'est pas défini alors ce que la fonction est indéfini et quand est ce que la fonction est indéfinie dans cette fonction là il ne peut être un défi n'est que lorsque le dénominateur s'annulent et quand est ce que le dénominateur s'annulent le dénominateur ça nulle lorsque 5x -15 est égal à zéro donc on résout l'équation ça nous donne 5 et que c'est quelqu'un c'est à dire x égal 3 et qu'est ce qui se passe pour x égal 3 pour x égal 3 la fonction f et indéfinie parce que le dénominateur seins nus non c'est pas / 0 et comment ça va se traduire du point de vue du graff comment ça peut se traduire une fonction a définie du point de vue du graff donc là je dessine un repaire de coordonnées et on va essayer de voir on pourrait par exemple avoir un graff qui a un petit trou un petit trou en trois ans quelque sorte voilà un graff qui ressemble à une ligne sauf qu'il ya juste un petit point qui manque le point où x égal 3 alors ça ça pourrait être une fonction ou qui n'est pas défini en trois ça s'appelle une fonction prolongeable à part continuité ou une fausse singularité oms a plein de noms on pourrait aussi avoir une fonction qui au fur et à mesure qu'on s'approche de 3 à des valeurs qui vont vers l'infini alors vers l'infini positif ou négatif de chacun des deux côtés un peu par exemple tendre vers l'infini positif du côté gauche de trois étangs 2 vers l'infini négatif du côté droit de trois ça ça s'appelle là on a une droite un vertical en x égal 3 dont le graphe de la fonction semble s'approcher sans jamais le toucher alors ce genre de droite ça s'appelle une asymptote et donc là on pourrait supposer donc une fonction qui n'est pas défini en 3 peut aussi avoir une asymptote et c'est ce qu'on a l'air de constater ici assis en place le point x égale trois là sur l'axé des abscisses vul allures de la fonction qui est déjà tracée ça a l'air d'être une asymptote mais comment est ce que je peux en être sûr comment est ce que je peux être sûr que c'est une asymptote et que c'est pas une fausse singularité c'est à dire une fonction avec un trou comment est ce que je peux être sûr que c'est ma on va l'écrire une asymptote verticale qu'on a une asymptote verticale en x égal 3 eh ben on va pas expliquer comment on être sûr ici mais on va expliquer comment on pourrait le le suspecter très fort un moyen de le suspecter ce serait de substituer à la place de x des valeurs très très proche de 3 c'est-à-dire de calculer l'image de nombre qui sont très très proches de 3 donc essayons par exemple de calculer l'image d'un nombre qui est très proche de 3,2 de 3,01 donc avec notre calculatrice on va taper deux fois 3,01 +10 ce qui nous fait 16 02 qu'on va diviser par cinq fois 3,01 -15 et ça va nous donner l'image de 3,0 l on constate que ça fait 320 et quelques donc c'est ça devient très très grand donc là on se dit il ya certainement une asymptote l'image de 3,0 elle devient très très grande par rapport aux autres images qu'on avait calculé avant essayons même encore plus proche de 3 essayons de calculer l'image de 3 001 donc tapons le calcul deux fois à 3,001 plus 10 / 5 x 3 001 -15 et demandons résultat la calculatrice la calculatrice nous dit que l'image vaut 3200 3224 donc vraiment on a on a l'air de se douter que plus on se rapproche des 3 plus les images vont devenir gigantesque ce qui nous dit au moins du côté droit au moins du côté des valeurs supérieures à 3 qu'on a vraiment l'air d'avoir une asymptote verticale en x égal 3 que plus les valeurs les antécédents sont plus rush de trois plus les images deviennent ténor maintenant essayons d idées des antécédents proche de 3 mais un petit peu inférieur légèrement inférieur à 3 c'est à dire que la place de 3,00 1 je vais calculé l'image de 2,999 donc je tape le calcul le même calcul 2 x 2 1999 + 10 sur cinq fois 2,999 -15 et cette fois j'obtiens moins 3000 199,6 c'est à dire que j'obtiens une valeur très très grande négative donc très très en bas sur sur mondes en mort père de coordonner ce qui me laisse supposer que à gauche du 3g aussi une asymptote verticale mais qui sévèrement l'infini cette fois et ça donc on n'a pas à démontrer formellement qu'une eric on a une asymptote verticale mais en substituant des valeurs très proche de 3 on l'a suspects est très fort maintenant on va essayer de se demander ce qui se passe lors il lorsque x devient très grand très grand positif ou très grand négatif d'abord en regardant le graphe on a l'air d'avoir une asymptote horizontale cette fois lorsque x devient très grand les valeurs de fgx ont l'air de se rapprocher ne pas devenir très grande mais de se rapprocher d'un certain nombre alors on va essayer de vérifier sa part le calcul qu'est ce qui se passe lorsque x tend vers l'infini et lorsque j'écris l'infini si ça peut vouloir être plus infinie ou moins l'infini on va voir ftx se rapproche de quoi alors lorsque x devient très très grand vous bien comprendre que 2 x + 10 le dise va avoir très très peu d'importance x ça va être un nombre énorme 2x d'être un nombre encore plus énorme alors confondent quand on va lui rajouter un petit 10 ça va pas beaucoup compter de même 5 x va être un nombre gigantesque quand on va lui retirer un petit qu'un ça va pas beaucoup compter donc notre rêve de x va être très proche de 2 x sur 5 x qui peut se simplifier en 2 5e on va se dire comme on a de bonnes raisons de suspecter que les valeurs de fgx lorsqu'éric ces très grands se rapproche de deux cinquièmes du nombre de 5e on va essayer de faire un petit tableau pour que tu puisses un petit peu mieux comprendre ça qu'est ce qui se passe lorsque x égale un f2 x est égal à quoi bref ces deux fois un +6 terre de plus dix sur cinq - 15 et là dans un calcul comme ça le 10 et le moins 15 ont une très grande importance maintenant lorsque x est égale à 1000 eh bien mon image f 2 x et 2000 + 10 sur 5000 moins 15 alors quand vous avez dénombre aussi grande 2000 et 5000 le retirer 10 et l'eure l'eure à leur ajouter 10 et leurs grottes tranchées 15 ça n'a pas changé grand chose donc on peut se dire c'est pas très éloigné de 2000 sur 5000 et lorsque x allons même encore plus loin lorsque xv ont un million - f2 xxi vaut combien il vaut 2 millions plus un tout petit dit ce qui est minuscule à côté de deux millions sur 5 millions - un tout petit 15 qui comptent pratiquement pour rien à côté du 5 millions donc tu imagines bien que ça c'est très très proche de 2 millions sur 5 millions et 2 millions sur 5 millions c'est exactement la même chose que deux cinquièmes donc on s'aperçoit ici caf au fur et à mesure que x devient gigantesque 1 le 10 et le 15 compte pour moins sont de moins en moins important et notre valeur de f2 x se rapproche de la valeur 2/5 qui est juste en dessous de 0,5 parce que de 5e ça fait 0,4 voilà et sa corrobore bien ce qu'on a l'air de voir sur le dessin à est là et ça nous dit qu'on a l'air d'avoir une asymptote qui serait cette fois horizontal et qu'est ce qui se passe lorsque x est très très grand mais négatif et bien il suffit que je rajoute des moins là où il faut dans le tableau lorsque x est très très grand et négatifs alors si du côté des négatifs sur place 6 par un parent - je vais avoir - 2 et - 5 de même je rajoute des moins aux mille aux 2000 et aux 5000 au million et 2 millions et 1 5 million et on voit bien que lorsque x est très proche de - 1 million et bien - f2 x va être très proche de - 2 millions sur moins 100 millions et on peut simplifier les moins - 2 / - par mois ça donne plus ça donne également 2 5e - f2 x va être très très proche de 2/5 pas tout à fait de 5e parce que le plus 10 aigle et le moins 15 mai où il compte pour tellement peu que ça va pas s'éloigner très fort de 5e donc on peut écrire que on a s'est pas encore une démonstration formelle mais ont su pour on voit bien qu'on va avoir une asymptote horizontale pour y cette fois y égal 2 5e savent être l'équation notre asymptote horizontale alors pour repérer qu'on a une asymptote 1 la meilleure manière de faire comme tu as vu ses deux tester de tester des nombres soit qu'ils sont très grands quand on veut vérifier si on a une asymptote horizontale soit qu'ils trouvent sont très proches de la valeur indéfinie si tant est qu'on a une valeur indéfinie quand on a une vue pour avoir une asymptote verticale il faudrait il faut que nos valeurs donc deviennent très très grande lors ce contexte dx qui sont très proches de la valeur ou la fonction est un définir si on n'a pas de valeur indéfini évidemment on aura pas d'un simple d'autres verticale mode vertical