Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons des problèmes de chargement de données externes.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenu principal

Identifier la courbe représentative d'une fonction rationnelle en utilisant ses asymptotes verticales

On donne quatre courbes. Il faut identifier laquelle est celle de la fonction f définie par f(x)=p(x)/(x²-x-6) sachant que p(x) est un polynôme.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Pas encore de posts.
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.

Transcription de la vidéo

soit f la fonction définie par eve 2 x et galp et 2x sur x o car est plus 7 x + 10 ou paix est une fonction polinum laquelle de ses courbes peut être sa courbe représentative et on nous dit que les droites en pointillés sont les à 70 et on doit choisir une de ces quatre représentations graphiques qui sont ici alors comme d'habitude tu peux mettre la vidéo sur pause essayer de le faire de ton côté ou bien si tu préfères je vais commencer à le faire et puis ici à un moment donné tu te sens inspirée n'hésite pas à mettre la vidéo sur pause et a continué de ton côté alors ici on a une fonction rationnelle dont on ne connaît absolument pas le numérateur par contre on connaît son dénominateur et ça du coup ça va nous permettre de déterminer déjà le domaine de définition de cette fonction donc pour ça il faudrait que j'arrive à déterminer les valeurs de la variable x qui vont annuler ce dénominateur et donc je vais le factoriser alors il faudrait que je trouve deux nombres dont le produit est égal à 10 et dont la somme est égal à 7 alors ici je peux prendre 2 et 5 puisque deux fois 5 ça fait 10 et 2 + 5 ça fait 7 ce qui veut dire que f en fait je peux la réécrire comme ça f2 xcp de x / le polynôme qui est au dénominateur et que je vais factoriser comme ça x + 5 facteur 2 x + 2 et donc les deux valeurs interdite de valeur qui annule le dénominateur ce sont les valeurs moins 5 et moins deux donc le domaine de définition de fc l'ensemble des réelles privé de -5 et de -2 voilà qu'est ce que ça veut dire cas possibles soit on a des asymptote verticale en ces points là qui auront pour équation x égal moins 5 et x égales - 2 d'autres verticale possible ou alors ça peut être aussi des valeurs dans lesquelles la fonction peut être prolongée par continuité alors qu'est ce que ça veut dire ça imaginons par exemple que la fonction f soit prolongeable par continuité en moins 2 et bien ça voudrait dire que p 2 x peut être factoriser par le polynôme x plus deux en fait f dans ce cas là à s'écrire et comme ça f de x ça serait x + 2 facteur d'un autre polynôme que j'appelle qu ici et donc au dénominateur en aurez x + 5 x x + 2 et dans ce cas là on pourrait simplifier ici x + 2 par x + 2 au numérateur et le dénominateur et du coup on obtient une expression de f qui permettrait de prolonger par continuité la fonction dans la valeur x égales - 2 à partir de cette expression la q2 x sur x + 5 voilà donc pour résumer on peut avoir dans ces points-là des asymptote verticale ou des points où la fonction n'est pas défini mais peut-être prolongeable par continuité on va regarder maintenant les propositions qui nous sont données la première alors ici on a une asymptote verticale alors je vais la trace est ici peut-être pour bien voir c'est cette droite là cette droite là est là pour équation x égal 2 x égal 2 c'est parce qu'il nous faut puisque les asymptote verticale possible ce sont des assassins pts adéquation x égal moins 5 ou x égal moins de une de ces deux là donc en tout cas pas cette asymptote là donc ça je peux la barre et cette possibilité là ensuite ici alors on a deux asymptote verticale ici il ya celle ci qui a pour équation comme tout à l'heure x est égal 2 x égal 2 et celle là apport équation x égale 5 x égale 5 donc là aussi ce sont bien deux asymptote verticale mais ce ne sont pas les mêmes c'est pas celle ci x et gagnent moins de x également 1,5 donc ça je peux la barre est aussi ensuite cette courbe la la courbe s'est donc on a une asymptote verticale qui est ici c'est celle là à son équation cx égales - 2 x égales - 2 donc ça c'est pas mal ça correspond à une des cas possibles pour nous et puis on a ici un point où la fonction n'est pas défini mais on peut la prolonger par continuité c'est ce point là ici qui a pour abscisse 5 donc c'est intéressant ça correspond presque à ce qu'on veut sauf que nous on pourrait avoir éventuellement un point où la fonction n'est pas défini mais prolongeable par continuité qui est x égal moins cinq pas xl5 donc ça ça va pas non plus pour nous alors examinons maintenant la dernière possibilité donc on a ici deux à 70 verticale la première c'est celle ci et la deuxième c'est celle là la première sonde équation cx égal moins 5 x égal moins 5 et la deuxième celle ci cx égales - 2 ça c'est possible d'après ce qu'on a dit on peut avoir deux asymptote verticale d'équations x égal moins 5 et x égales - 2 on est dans ce cas là donc cette courbe l'a peut-être la courbe représentatif de notre fonction f voilà donc je vais sélectionner celle là est bon c'est intéressant de remarquer qu'en fait ça correspond au cas où le polynôme p qui est au numérateur donc celui ci et bien il ne peut pas être factoriser ni par x + 2 ni par ex +5 parce que sinon on aurait un prolongement par continuité dans un de ces deux points voilà à bientôt