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Limite de sin(x)/x quand x tend vers 0

On démontre que la limite de sin(x)/x est égale à 1. Si vous trouvez ce résultat perturbant, vous êtes au bon endroit !

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mehdilekhoua
    Bonjour,

    J'aimerai juste savoir pourquoi vous dites que l'aire de cette portion de cercle est théta/2 et non phi/2 ?

    Et ce qui me perturbe le plus, c'est le AB égale valeur absolue de théta.

    Quand vous dites théta, vous faites bien allusion à l'angle AÔB ou il s'agit d'autre chose ?

    Merci d'avance
    (1 vote)
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Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo je voudrais qu'on calcule la limite quand et à temps vers zéro de sinus teta sûreté tas alors il ya plusieurs manières de calculer cette limite ce que je vais faire dans cette vidéo c'est de présenter une manière un peu géométrique de voir les choses évidemment comme il s'agit d'une fonctions trigonométriques b tout de suite moi je pense au cercle trigonométriques donc j'en ai dessiné une partie ici et puis j'ai tracé un angle d'état ici voilà dans ce cercle trigonométriques alors tu veux te demandez peut-être pourquoi j'ai tracé simplement la moitié du cercle trigonométriques en fait la moitié qui se passe dans le cadran 1 et 4 ici et bien c'est tout simplement parce que nous on va s'intéresser à la limite quand et à temps vers zéro de cette fonction-là sinus et assure teta est donc en fait on va considérer des valeurs proches de zéro donc qui sont soit dans le premier cadran comme je les aime dessiner ici mais attention on peut aussi tendre à 0 par valeurs inférieures à zéro donc on pourrait avoir un angle d'attaqué négatif et donc qui serait dans ce cadre en là dans le 4ème cadran enfin en tout cas ce qui est important c'est que ici on va considérer en fait uniquement le premier et le quatrième cadran autrement dit on va considérer des valeurs de teta qui sont comprises entre - pis sur deux épis sur deux entre - pis sur deux et pis sur deux voilà faire c'est essayer d'encadrer la surface de cette portion de cet arc de cercle qui est ici voilà je vais essayer de l'encadrer par des valeurs et ensuite peut-être que je pourrai utiliser le théorème des gendarmes pour calculer la limite de cette fonction là donc déjà ce qu'on peut dire c'est que l'air de cette portion de cercle je vais l'appeler c'est hilde comme ça alors l'air totale du cercle ici c'est un cirque trigonométriques de rayons un donc son air total c'est pis ça correspond à l'air pour un angle de 2 pi donc ici pour un angle de teta et bien l'air de cette portion discs as raté ta sur deux alors c'est tout à fait ça dans le cas de ce dessin là mais si on avait une valeur négative ici de l'angle teta et bien pour avoir une aire positive il faudrait prendre la valeur absolue de teta donc en général l'ère de cette portion de serques ses valeurs absolues de teta divisé par deux voilà alors maintenant ce que je vais faire c'est identifier certaines longueurs dans ce dessein déjà j'ai quelque chose que je peux identifier c'est la longueur sinus tétanos innus de cet angle eh bien on sait que c'est en fait cette longueur là donc cette longueur là c'est le sinus têtards si tu veux je peux mettre des points pour bien parler des choses donc la longueur ab la longueur a bel et bien ses sinus d'état en fait pas tout à fait puisque comme tout à l'heure ici on pourrait avoir une valeur de l'angleterre à négative donc en fait pour vraiment avoir la longueur ab je vais prendre la valeur absolue du sinus de teta il ya autre chose que je peux faire c'est regarder cette longueur là alors sept longueurs là que je vais matérialiser ici voilà si tu veux là encore je peux mettre des noms je vais appeler ce point là c est ce point là des voix là et donc la longueur céder la longueur cd et bien c'est en fait la tangente deux langues le thêta c'est le côté opposé donc cd / le côté adjacents qui est au c est qui est égal à 1 donc finalement ici la longueur cdc la tangente deux langues le thêta et là encore il faut que je prenne la valeur absolue pour inclure le cas où j'ai une valeur de teta négative alors maintenant je vais essayer de majorer l'air de ma portion de cercle est ici par quelque chose et ce que je peux dire c'est qu'en fait ces terres là l'air de ma portion de serre qu'elle est plus petit que l'ère du triangle au décès alors celui là je peux le jurer si tu veux c'est l'ère de ce triangle la leyre de au décès du triangle au décès eh bien c'est la base qui est au c fois la hauteur qui est cédée divisés par deux et donc sa hausse et c'est égal à 1 puisqu'on est dans le cercle trigonométriques et ses 17 ans jantes et a donc l'air de ce triangle c'est la valeur absolue de tangente étape à redon divisé par deux et donc je sais que cet air là est plus grande que ces terres là et maintenant ce que je voudrais bien faire c'est trouver une figure là dans l'air est plus petit que teva sur deux les plus petites que l'ère de mon demi cercle alors je pourrais prendre ce triangle là à aubes et ça serait déjà pas mal effectivement l'air de ma portion de cercle est comprise entre l'ère du triangle à ob et l'air du triangle au cd mais je peux faire même un petit peu mieux puisque je peux prendre ce triangle là le triangle aoc voilà celui là donc là je peux assurer ce triangle et tu vois que ce triangle là son air est plus petit que l'ère de la portion de cercle puisque il y à toute cette partie là qui est en trop alors cette ère du triangle aoc je vais là calcul est donc l'ère du triangle aoc et bien c'est la base qui est au c x la hauteur qui es ab divisés par deux évidemment aidé ont causé cette égal à 1 et puis abc valeur absolue de sinus de teta donc l'air de ce triangle a haussé ses valeurs absolues this in us d'état sur deux et maintenant ce que je sais c'est que ces terres là est comprise entre ces deux là alors je vais l'écrire correctement je vais remonter un petit peu voilà j'ai cet encadrement la valeur absolue de teta sur deux est plus petit que valeur absolue de tangente teta sur deux et elle est plus grande que l'ère du triangle aoc qui est sinus valeur absolue de sinistre et a divisé par deux alors évidemment là je peux tout multiplié par deux donc j'aurai que valeur absolue de sinus l'état est plus petit que valeur absolue de l'état qui est plus petit que valeur absolue de tangente et a alors je peux aussi / valeur absolue de sinus et à tous cet encadrement là et comme valeur absolue de sinus détail positive eh bien je vais garder le même sens des inégalités donc c'est ce que je vais faire en fait ça va me donner du coup ici je vais avoir un puisque je divise par valeur absolue de systech je multiplie par deux et puis ici je vais multiplier par 2 et / sinus teta aussi donc je vais obtenir valeur absolue de teta sûr valeur absolue de sinus d'état voilà et ça ça sera plus petit que tangente teta valeur absolue de tangente peta j'ai multiplié par 2 donc le 2 va disparaître et je divise par sinus l'état en valeur absolue valeur absolue de sinus l'état voilà alors ici ce que je peux faire déjà c'est simplifier ce membre là puisque tangente et à ses sinus et assure caussinus l'état donc en fait ici je vais avoir un sur valeur absolue de cosinus d'état il ya autre chose que je peux remarquer c'est que comme on a dit tout à l'heure que tu es tu as été compris entre - pis sur deux et puis sur deux et bien en fait citer à est négatif si nous tarde à être négatif aussi et citéa est positif si l'ust état sera positif aussi donc en fait valeur absolue de teta sur valeur absolue de sinus l'état et bien ça c'est de toute façon égale un état sûr sinus d'étain de toute façon cette quantité là est positive donc elle sera égal à sa valeur absolue et puis de la même manière ce que je peut remarquer c'est que pour ses valeurs de tes talents comprise entre - puis sur deux épis sur deux est bien le cosinus de teta sera toujours positif donc finalement en fait je peux me débarrasser des valeurs absolues je peux les supprimés ici voilà et puis ici aussi donc tu es tu assures sinus l'état est supérieur 1 est plus petit que 1 sur caussinus d'état alors on est presque au bout de nos peines parce que nous ce qu'on cherche à faire ses calculs et la limite de sinus teta sûreté t'as quand états envers 0 et ici ce que j'ai obtenu c'est un encadrement de teta sur sinistre et a donc en fait ce que je vais faire mais c'est passé aux inverse et quand je passe aux inverse évidemment le sens des inégalités pas être changé et je vais obtenir que l' inverse de 1 est plus grand que sinus d'état sûreté tas qui lui même plus grand que l' inverse de 1 sur caussinus petacchi et caussinus teta voilà donc j'obtiens cette inégalité là qui est toujours vrai pour toutes les valeurs de tétanie comprise entre - puis sur deux épis sur deux et si c'est vrai pour toutes ces valeurs de thé talla et bien ça sera vrai aussi quand je prends la limite quand et à anvers héros de toutes ses fonctions donc je vais en déduire que la limite quand et à anvers héros de sinus d'état sûreté tas eh bien elle est comprise entre les limites de ces deux fonctions quand et à temps vers zéro donc d'un côté on sait que cette limite là va être plus petit que la limite de 1 quand et à temps vers zéro mais un est une fonction constante donc ça limite quand et à temps vers zéro et bien c'est un donc j'ai déjà une borne supérieure et puis de l'autre côté je sais que cette limite là va être plus grande que la limite quand état tend vers zéro de la fonction caussinus d'état mais la fonction caussinus total est parfaitement définis et continue en zéro donc la limite quand tu es à temps vers 02 caussinus teta et bien c'est caussinus 0 qui est égal a donc finalement ce que j'obtiens c'est que la limite quand et à temps vers zéro de sinus et assure teta est bien comprise entre 1 et 1 et donc tu vois que là je peux appliquer le théorème des gendarmes et je vais en déduire que la limite quand et à temps vers zéro de sinus teta sûreté tas eh bien elle est égale à ça c'est le théorème des gendarmes dans notre cas on a encadré la limite de notre fonction entre deux limites qui sont égales donc on en déduit que la limite de notre fonction est égal à cette valeur commune qu'est un donc ça c'est notre résultat et on l'a obtenue d'une manière assez élégante je trouve avec le théorème des gendarmes et un calcul terre