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Fonction convexe ou fonction concave - Savoirs et savoir faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

Qu'est-ce que la concavité d'une fonction ?

Une fonction est convexe sur un intervalle si sa représentation graphique sur cet intervalle est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle. Une fonction est concave sur un intervalle si sa représentation graphique sur cet intervalle est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes. On démontre qu'une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est décroissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.
La représentation graphique d'une fonction convexe sur un intervalle a cette allure : , et celle d'une fonction concave a cette allure : .

1 - Lire sur la courbe d'une fonction le signe de sa dérivée et celui de sa dérivée seconde

Exercice 1.1
f(x)>0 et f(x)>0 sur les intervalles :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est convexe (ou concave)

Exercice 2.1
f est la fonction définie par f(x)=3x416x3+24x2+48.
Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle concave ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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