Le sens de variation d'une fonction

La fonction $f$f est croissante sur l'intervalle $[a~;b]$open bracket, a, space, ;, b, close bracket équivaut à $f'$f, prime est positive sur l'intervalle $[a~;b]$open bracket, a, space, ;, b, close bracket. La fonction $f$f est décroissante sur l'intervalle $[a~;b]$open bracket, a, space, ;, b, close bracket équivaut à $f'$f, prime est négative sur l'intervalle $[a~;b]$open bracket, a, space, ;, b, close bracket.

Donc, pour déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante, on calcule la dérivée de la fonction et on étudie son signe.

Soit à étudier le sens de variation de la fonction polynôme définie par $f(x)=x^3+3x^2-9x+7$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7. On calcule sa dérivée :

$f'(x)=3x^2+6x-9$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 9

Il faut étudier le signe de $f'$f, prime.

$f'$f, prime s'annule en $-3$minus, 3 et en $1$1. Elle est de signe constant sur chacun des intervalles $]-∞~;-3[$close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 3, open bracket, $]-3~;1[$close bracket, minus, 3, space, ;, 1, open bracket et $]1~;+∞[$close bracket, 1, space, ;, plus, ∞, open bracket.

Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis pour connaître le signe de $f'$f, prime sur l'intervalle.

$f$f est croissante sur $]-∞~;-3[$close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 3, open bracket et sur $]1~;+∞[$close bracket, 1, space, ;, plus, ∞, open bracket et elle est décroissante sur $]-3~;1[$close bracket, minus, 3, space, ;, 1, open bracket

Soit à étudier le sens de variation de la fonction polynôme définie par $f(x)=x^6-3x^5$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 3, x, start superscript, 5, end superscript. On commence par calculer $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.

$f'(x)=6x^5-15x^4$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 15, x, start superscript, 4, end superscript

Il faut étudier le signe de $f'$f, prime.

$f'$f, prime s'annule en $0$0 et en $\dfrac52$start fraction, 5, divided by, 2, end fraction. Elle est de signe constant sur chacun des intervalles $]-∞~;0[$close bracket, minus, ∞, space, ;, 0, open bracket, $]0~;5/2[$close bracket, 0, space, ;, 5, slash, 2, open bracket et $]5/2~;+∞[$close bracket, 5, slash, 2, space, ;, plus, ∞, open bracket.

Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis pour connaître le signe de $f'$f, prime sur l'intervalle.

$f$f est décroissante si $x<0$x, is less than, 0 et si $x>0$x, is greater than, 0, donc $f$f est aussi décroissante en $0$0.

Donc $f$f est décroissante sur l'intervalle $]-∞~;\dfrac52[$close bracket, minus, ∞, space, ;, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, open bracket et elle est croissante sur l'intervalle $]\dfrac52~;+∞[$close bracket, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, space, ;, plus, ∞, open bracket