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Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée

Comment déterminer le sens de variation d'une fonction f en utilisant sa dérivée f'. Comment justifier qu'une certaine valeur de x est l'abscisse d'un extremum d'une fonction f en utilisant sa dérivée f'.
Cette leçon porte sur l'utilisation de la dérivée d'une fonction, c'est-à-dire sur les informations qu'elle peut donner.

Signe de f et sens de variation de f

Rappel : f est croissante sur l'intervalle [a,b] équivaut à "Quels que soient x1[a,b] et x2[a,b], si x1<x2 alors f(x1)<f(x2).
Une représentation graphique qui illustre cette définition :
Mais on peut déduire le sens de variation sur un intervalle d'une fonction f du signe de sa dérivée f sur cet intervalle. Voici la courbe représentative de la dérivée f de la fonction f :
On peut déduire de cette courbe représentative de f, les intervalles sur lesquels cette fonction f est positive et l'intervalle sur lequel elle est négative.
  • Les intervalles sur lesquels f est positive, donc sur lesquels sa courbe représentative est au-dessus de l'axe des x, sont les intervalles sur lesquels la fonction f est croissante.
  • L'intervalle sur lequel f est négative, donc sur lequel sa courbe représentative est au-dessous de l'axe des x, est l'intervalle sur lequel la fonction f est décroissante.
On peut justifier qu'une fonction f a telle ou telle propriété en utilisant sa dérivée f.
Exercice 1
Voici deux façons de justifier que la fonction f est croissante sur l'intervalle [a,b] :
A. Quels que soient x1[a,b] et x2[a,b], si x1<x2 alors f(x1)<f(x2).
B. Quel que soit x[a,b], f(x)>0
Laquelle de ces justifications utilise la dérivée de la fonction f ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
Soit f une fonction dérivable. On donne ci-dessous sa courbe représentative et celle de sa dérivée f.
Voici trois façons de démontrer que f est décroissante sur l'intervalle ]3,+[. Laquelle utilise la dérivée de la fonction f ?
Choisissez une seule réponse :

A retenir : La donnée de la courbe représentative de la dérivée d'une fonction permet de déterminer les intervalles où cette dérivée est positive et les intervalles où cette dérivée est négative.

En effet,
  • f(x)<0 sur un intervalle équivaut à :
  • la courbe représentative de f est au-dessous de l'axe des x sur cet intervalle.
(De même f(x)>0 sur un intervalle équivaut à la courbe représentative de f est au-dessus de l'axe des x sur cet intervalle.)

On peut aussi déduire de la courbe représentative de la fonction f les abscisses des extremums locaux de la fonction f

La fonction f admet un maximum local en x0 si et seulement si f est croissante si x<x0 et décroissante si x>x0.
Un exemple :
On en déduit que la fonction f s'annule en changeant de signe en x0
Exercice 3
Soit g une fonction dérivable. On donne ci-dessous sa courbe représentative et celle de sa dérivée g.
La propriété de la fonction g qui permet de justifier que le point d'abscisse 3 est un minimum de la fonction g est :
Choisissez une seule réponse :

A retenir : il faut bien distinguer les propriétés d'une fonction et celles de sa dérivée.

Le signe de la dérivée sur un intervalle permet de déduire le sens de variation de la fonction sur cet intervalle
Mais on ne peut pas déduire le sens de variation d'une fonction sur un intervalle du sens de variation de sa dérivée sur cet intervalle. Et on ne peut pas non plus déduire l'abscisse d'un extremum d'une fonction de l'abscisse d'un extremum de sa dérivée.
Exercice 4
Soit h une fonction dérivable. On donne ci-dessous sa courbe représentative et celle de sa dérivée h.
Ci-dessous les réponses de quatre élèves qui devaient démontrer en utilisant la fonction h, que la fonction h est croissante sur [0,+[ et les commentaires de leur professeur.
Remettre les commentaires dans le bon ordre.
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Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Une erreur fréquente : donner une réponse vague ou imprécise.

Quand on utilise une propriété de la dérivée d'une fonction pour en déduire une information sur cette fonction, il faut être précis dans la formulation de cette propriété.
Par exemple, dans l'exercice 4, la réponse attendue est que h est croissante sur [0,+[ car h est positive sur cet intervalle. L'un des élèves a écrit "La courbe est au-dessus de l'axe des x. De quelle courbe s'agit-il ? celle de h ? Celle de h? C'est un exemple type de réponse par trop imprécise..

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