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5e année secondaire - 4 h
Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 7
Leçon 1: Déterminer le sens de variation de f grâce au signe de f'- Sens de variation d'une fonction et signe de la dérivée
- Sens de variation d'une fonction et signe de la dérivée
- Déterminer l'intervalle sur lequel une fonction est décroissante.
- Déterminer l'intervalle sur lequel une fonction est croissante.
- Le sens de variation d'une fonction
- Le sens de variation d'une fonction
- Justifier à l'aide de la dérivée qu'une fonction est croissante sur un intervalle
- Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée
- Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée
- Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée
Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée
Comment déterminer le sens de variation d'une fonction f en utilisant sa dérivée f'. Comment justifier qu'une certaine valeur de x est l'abscisse d'un extremum d'une fonction f en utilisant sa dérivée f'.
Cette leçon porte sur l'utilisation de la dérivée d'une fonction, c'est-à-dire sur les informations qu'elle peut donner.
Signe de et sens de variation de
Rappel : est croissante sur l'intervalle équivaut à "Quels que soient et , si alors .
Une représentation graphique qui illustre cette définition :
Mais on peut déduire le sens de variation sur un intervalle d'une fonction du signe de sa dérivée sur cet intervalle. Voici la courbe représentative de la dérivée de la fonction :
On peut déduire de cette courbe représentative de , les intervalles sur lesquels cette fonction est positive et l'intervalle sur lequel elle est négative.
- Les intervalles sur lesquels
est , donc sur lesquels sa courbe représentative est au-dessus de l'axe des , sont les intervalles sur lesquels la fonction est . - L'intervalle sur lequel
est , donc sur lequel sa courbe représentative est au-dessous de l'axe des , est l'intervalle sur lequel la fonction est .
On peut justifier qu'une fonction a telle ou telle propriété en utilisant sa dérivée .
A retenir : La donnée de la courbe représentative de la dérivée d'une fonction permet de déterminer les intervalles où cette dérivée est positive et les intervalles où cette dérivée est négative.
En effet,
sur un intervalle équivaut à :- la courbe représentative de
est au-dessous de l'axe des sur cet intervalle.
(De même sur un intervalle équivaut à la courbe représentative de est au-dessus de l'axe des sur cet intervalle.)
On peut aussi déduire de la courbe représentative de la fonction les abscisses des extremums locaux de la fonction
La fonction admet un maximum local en si et seulement si est croissante si et décroissante si .
Un exemple :
On en déduit que la fonction s'annule en changeant de signe en
A retenir : il faut bien distinguer les propriétés d'une fonction et celles de sa dérivée.
Le signe de la dérivée sur un intervalle permet de déduire le sens de variation de la fonction sur cet intervalle
Mais on ne peut pas déduire le sens de variation d'une fonction sur un intervalle du sens de variation de sa dérivée sur cet intervalle. Et on ne peut pas non plus déduire l'abscisse d'un extremum d'une fonction de l'abscisse d'un extremum de sa dérivée.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Une erreur fréquente : donner une réponse vague ou imprécise.
Quand on utilise une propriété de la dérivée d'une fonction pour en déduire une information sur cette fonction, il faut être précis dans la formulation de cette propriété.
Par exemple, dans l'exercice 4, la réponse attendue est que est croissante sur car est positive sur cet intervalle. L'un des élèves a écrit "La courbe est au-dessus de l'axe des . De quelle courbe s'agit-il ? celle de ? Celle de ? C'est un exemple type de réponse par trop imprécise..
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