Déterminer l'intervalle sur lequel une fonction est croissante.

soit j'ai une fonction définie pour tous types différents de deux sa fonction dérivés j'ai pris mes défini par g primes de x égale x au carré sur x -2 élevé à la puissance 3 sur quel intervalle la fonction j'ai est-elle croissante alors pour répondre à cette question ce dont il faut se rappeler c'est du lien entre le sens de variations d'une fonction est le signe de sa dérive est en fait la fonction g et croissante g et croissante si et seulement si sa dérive et j'ai primes de x et positive positive ou nulle là si on avait demandé les intervalles sur laquelle la fonction j'ai est strictement croissante on aurait eu une égalité stricte titien donc ce qu'il faut déterminer finalement c'est sur quel intervalle la fonction j'ai primes de x est supérieur ou égal à zéro alors j'ai primes de x c'est un quotient cx au carré / x -2 élevé à la puissance 3 est ce qu'on peut remarquer c'est que le numérateur ici x au carré il est toujours supérieure ou égale à zéro pour tous les nombres réels le carret de x est supérieur ou égal à zéro un quart est toujours positif et donc pour que j'aie primes de x soit positif ou nuls il faut que le dénominateur ici x -2 élevé à la puissance 3 soit supérieur ou égal à zéro donc on va déterminer maintenant les valeurs pour lesquelles x - 2 au cube est supérieur ou égal à zéro alors là il faut se rappeler des propriétés de la fonction tube 6x -2 élevé à la puissance 3 est supérieur ou égal à zéro 6 x - 2 est supérieur ou égal à zéro et donc là on trouve que x doit être supérieure ou égale à 2 minet il faut faire quand même un petit peu attention parce que on serait tenté de répondre que l'intervalle sur lequel la fonction g et croissante ces l'intervalle de inclus plus infinie mais il faut se souvenir que notre fonction j'ai n'est pas défini pour x égal 2 donc finalement j'ai est croissante / val alors deux exclus plus cela finisse donc pour toutes les valeurs x strictement supérieure à 2 effectivement pour toutes les valeurs x strictement supérieure à 2 x - 2 est positif donc x -2 élevé au cube est positif aussi et donc j'ai primes de x est positif voilà donc la réponse c'est celle ci si tu n'es pas très au clair avec ce que je viens de faire je vais proposer une autre solution qui consiste à dresser un tableau de signes de jets primes de x c'est très très utile et très facilement utilisable dans d'autres cas alors je vais mettre ici sur une première ligne les valeurs de x donc on va de moins l'infini a+ l'infini ici je vais mettre le numérateur 2g prime donc et xo carrés est en fait je vais mettre sur cette ligne hal le signe de xo carré ensuite je vais mettre le signe du dénominateur 2g prime qui est x - 2 au cube ici je vais mettre le signe de jets primes de x et puis en dessous le pouvoir mettre du coup là le sens de variation de g alors une deuxième étape c'est que je vais repérer les valeurs particulières pour ces lignes la est une valeur particulière pour xo caresser la valeur 0 1 je vais la mettre ici puisque pour x égal zéro x au carré est égal à zéro donc ça je vais le prolonger comme ça et puis j'ai une valeur ici particulière pour xe - 2 au cube puisque pour x égal 2 sa x - 2 au cube ça va être égal à zéro aussi donc je vais mettre un zéro ici et maintenant je vais remplir les lignes avec les signes d expression donc le signe de x au carré bah c'est toujours positif donc je vais mettre un plus ici un plus cela est un plus là ensuite je vais mettre sur cette deuxième ligne le signe de x - 2 au cube alors d'après ce qu'on a vu tout à l'heure x - 2 au cube est supérieur ou égal à 0 pour x supérieure ou égale à 2 donc j'aime être un plus si si et puis par contre pour les valeurs inférieures à 2 et bien c'est négatif donc je mets des moins alors ici je vais mettre maintenant le signe de jets primes de x donc c'est un quotient de ces deux expressions la xe au carré / x - 2 au cube donc le signe ici sur cet intervalle la moins infinie 0 ça sera négatif pour x égal zéro et bien j'ai primes de x va être égal à zéro et puis entre 0 et 2 et bien c'est positif / négatif donc ça donne négatif alors pour x égal 2 il faut faire attention puisque la fonction geprim n'est pas défini je vais leur présenter comme ça par une double barre et je peux même prolonger cette double barre ici puisque je sais que j'ai n'est pas défini pour x égal 2 aussi voilà donc la double barre indique que la valeur 2 est une valeur interdite fait pas partie du domaine de définition ni de génie de geprim et puis pour x strictement supérieure à 2 eh bien j'ai primes de x est positif puisque j'ai un quotient de deux nombres positif donc ici je mets un plus voilà alors là on a en fait une cartographie du sens de variation de la fonction j'ai ici sur cet intervalle à moins d'un fini 0 la fonction dérivés est négative donc j'ai et décroissante entre 0 et 2 elle est décroissante aussi puisque j'ai pris mes négative aussi et ensuite pour les valeurs de x supérieure à 2 la fonction dérivés est positive donc la fonction est croissante voilà et on trouve ici exactement la réponse à notre question la même qu'ici 1 c'est cet intervalle là ici cette partie là donc l'intervalle 2 plus la philly sur lequel notre fonction j'ai est croissante