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Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 7 

Leçon 2: Déterminer les extremums de f, grâce aux zéros de f'
Mathématiques
5e année secondaire - 4 h
Les dérivées au service du graphique d'une fonction
Déterminer les extremums de f, grâce aux zéros de f'
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Trouver les extremums locaux d'une fonction

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Pour trouver les extremums locaux d'une fonction, on étudie sa dérivée. C'est un processus en plusieurs étapes. Passons-les en revue pour éviter les oublis et les erreurs.
L'étude de la dérivée d'une fonction permet de déterminer ses extremums.

Exemple : Déterminer les abscisses des extremums de la fonction f:x ↦x2x−1

1 - On calcule f′(x)
C'est la dérivée f′ qui permet de déterminer les abscisses des extremums de la fonction f.
f′(x)=x2−2x(x−1)2
2 : On détermine les points critiques.
Les points critiques d'une fonction f sont les valeurs de x pour lesquelles sa dérivée f′ n'est pas définie et les valeurs de x pour lesquelles f′ s'annule. Et on doit aussi prendre en compte les valeurs de x pour lesquelles, f n'est pas définie.
Si a et b sont deux points critiques, le signe de f′ est constant sur l'intervalle ]a,b[.
Les points critiques sont 0, 1 et 2.
3 - On détermine les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante
Si les points critiques de la fonction f, définie sur ℝ, sont a, b, c et d, alors les intervalles à considérer sont les intervalles ]−∞ ;a[, ]b ;c[ et ]d ;+∞[. On sait que le signe de f′ est constant sur chacun de ces intervalles. Donc il suffit de déterminer le signe de f′ en l'une des valeurs de x appartenant à cet intervalle.
Pour cette fonction f, on obtient :
IntervalleValeur de xf′(x)Conclusion
]−∞,0[x=−1f′(−1)=0,75>0f est croissante ↗
]0,1[x=0,5f′(0,5)=−3<0f est décroissante ↘
]1,2[x=1,5f′(1,5)=−3<0f est décroissante ↘
]2,+∞[x=3f′(3)=0,75>0f est croissante ↗
4 - On détermine les abscisses des extremums locaux
Maintenant que l'on sait sur quels intervalles f est croissante et sur quels intervalles elle est décroissante, on peut déterminer les abscisses de ses extremums locaux. L'abscisse d'un extremum local est un point de l'ensemble de définition de f, où sa dérivée f′ s'annule et change de signe.
Ici :
  • f est définie en 0, elle est croissante si x<0 et elle est décroissante si x>0. Donc, f admet un maximum local en 0.
  • f est définie en 2, elle est décroissante si x<2 et elle est croissante si x>2. Donc, f admet un minimum local en 2.
  • f n'est pas définie en 1, donc elle n'admet pas d'extremum en 1.
Exercice 1
Voici la copie d'un élève qui devait répondre à la question "La fonction f définie par f(x)=2x3+18x2+54x+50 admet-elle un extremum local ?"
Etape 1 : f′(x)=6(x+3)2
Etape 2 : f′(x)=0⇔x=−3.
Etape 3 : f admet un extremum local en −3.
Sa réponse est-elle exacte ? Sinon, quelle erreur a-t-il faite ?
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : Oublier de vérifier que le signe de f′ change au point critique.

À retenir : L'abscisse d'un point critique n'est pas forcément l'abscisse d'un extremum. Il faut toujours vérifier que la fonction est définie en ces points, et que la dérivée y change de signe.
Exercice 2
Voici la copie d'un élève qui devait répondre à la question : La fonction g définie par g(x)=(x2−1)2/3 admet-elle un extremum local ?
Étape 1 : g′(x)=4x3Ax2−13
Étape 2 : le point critique est x=0.
Étape 3 :
IntervalleValeur de xg′(x)Conclusion
]−∞,0[x=−3g′(−3)=−2<0g est décroissante ↘
]0 ;+∞[x=3g′(3)=2>0g est croissante ↗
Étape 4: g est décroissante sur ]−∞,0[, et croissante sur ]0,+∞[ donc g a un minimum local en 0.
Sa réponse est-elle exacte ? Sinon, quelle est son erreur ?
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : Oublier de prendre en compte les valeurs de x pour lesquelles la dérivée n'est pas définie

A retenir : Les valeurs critiques sont celles pour lesquelles la dérivée s'annule ainsi que les valeurs pour lesquelles, soit la fonction, soit sa dérivée, s'annule.
Exercice 3
Voici la copie d'un élève qui devait répondre à la question "La fonction h définie par h(x)=x2+1x2 admet-elle un extremum local ?"
Étape 1 : h′(x)=2(x4−1)x3
Étape 2 : les points critiques sont −1 et 1 et h n'est pas définie en 0.
Étape 3 :
IntervalleValeur de xh′(x)Conclusion
]−∞,−1[x=−2h′(−2)=−3,75<0h est décroissante ↘
]−1,0[x=−0,5h′(−0,5)=15>0h est croissante ↗
]0,1[x=0,5h′(0,5)=−15<0h est décroissante ↘
]1,+∞[x=2h′(2)=3,75>0h est croissante ↗
Etape 4 : h est croissante si x<0 et elle est décroissante si x>0, donc h a un maximum en 0.
Sa réponse est-elle exacte ? Sinon, quelle erreur a-t-il faite ?
Choisissez une seule réponse :

Erreur fréquente : Oublier de déterminer l'ensemble de définition de la fonction.

Attention : Si une fonction n'est pas définie pour une certaine valeur de x, cette valeur de x ne peut être l'abscisse d'un extremum.

Des exercices

Exercice 4
f est la fonction définie par f(x)=x3+6x2−15x+2.
En quelle valeur de x, la fonction f admet-elle un maximum local ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 5
g est une fonction polynôme, et pour tout x, g′(x)=x(x+2)(x+4)2.
Combien la fonction g admet-elle de maximums locaux ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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