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5e année secondaire - 4 h

Cours : 5e année secondaire - 4 h > Chapitre 7

Leçon 2: Déterminer les extremums de f, grâce aux zéros de f'

Minimum ou maximum local

Pour vérifier que vous avez bien compris et mémorisé.

Comment déterminer les extremums locaux d'une fonction ?

f

est une fonction définie sur un intervalle

I

a \in I

f

admet un maximum local sur

I

a

signifie que

f (a)

est la plus grande valeur de la fonction

f

sur

I

. On peut en déduire que

f

est croissante pour les valeurs de

x

inférieures à

a

et décroissante pour les valeurs de

x

supérieures à

a

f

est une fonction définie sur un intervalle

I

a \in I

f

admet un minimum local sur

I

a

signifie que

f (a)

est la plus petite valeur de la fonction

f

sur

I

. On peut en déduire que

f

est décroissante sur un intervalle

[a - h; a]

et croissante sur un intervalle

[a; a + h]

avec

h > 0

Après la leçon qui fait le point sur le sens de variation d'une fonction il s'agit ici de vous permettre de vérifier si vous avez bien compris comment déterminer les extremums locaux d'une fonction.

La vidéo.

Exemple

Soit la fonction

f

définie par

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7

. Pour trouver ses extremums locaux, on commence par calculer sa dérivée :

f^{'} (x) = 3 (x + 3) (x - 1)

[Détail des calculs]

Les points à étudier sont

- 3

1

Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de

f^{'} (x)

pour connaître le signe de

f^{'}

sur l'intervalle.

Intervalle	Valeur de $x$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	Conclusion
$] - \infty; - 3 [$ ‍	$x = - 4$ ‍	$f^{'} (- 4) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ est croissante. $↗$ ‍
$] - 3; 1 [$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{'} (0) = - 9 < 0$ ‍	$f$ ‍ est décroissante. $↘$ ‍
$] 1; + \infty [$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{'} (2) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ est croissante. $↗$ ‍

On en déduit ce tableau :

$x$ ‍	Avant	Après	Conclusion
$- 3$ ‍	$↗$ ‍	$↘$ ‍	Maximum local
$1$ ‍	$↘$ ‍	$↗$ ‍	Minimum local

La fonction a un maximum en $- 3$ ‍ et un minimum en $1$ ‍.

À vous !

Exercice 1

h

est la fonction définie par

h (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9

En quelle valeur de $x$ ‍, la fonction $h$ ‍ admet-elle un maximum local ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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