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Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée seconde

Démontrer en utilisant la dérivée seconde
Le sens de variation d'une fonction f et les abscisses de ses extremums sont liés aux propriétés de sa fonction dérivée f.
La concavité d'une fonction f et les abscisses des points d'inflexion de sa courbe représentative sont liés aux propriétés de sa fonction dérivée seconde f.

Qu'est-ce qu'une fonction convexe/concave ?

La fonction f est convexe sur l'intervalle I si et seulement si sa fonction dérivée f est croissante sur I. Ce qui signifie que si x1I, x2I et x2>x1, alors la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x2 est supérieure à celle de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x1. Si une fonction est convexe, elle a cette allure : .
Cette fonction f est convexe.
La fonction f est concave sur l'intervalle I si et seulement si sa fonction dérivée f est décroissante sur I. Ce qui signifie que si x1I, x2I et x2>x1, alors la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x2 est inférieure à celle de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x1. Si une fonction est concave, elle a cette allure : .
Cette fonction g est concave.
La courbe représentative d'une fonction admet un point d'inflexion si la fonction change de convexité en ce point.

La relation entre la dérivée seconde f et la concavité de la fonction f

f est positive sur If est croissante sur If est convexe sur I. De même, f est négative sur If est décroissante sur If est concave sur I.
fff
positive +croissante convexe
négative decroissante concave
change de signechange de sens de variationpoint d'inflexion (f change de concavité)
Voici un exemple :
fff
f est concave si x<c et f est convexe si x>c.
Exercice 1
f est une fonction deux fois dérivable. Ci-dessous la courbe représentative de sa dérivée seconde, f.
Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle convexe ?
Choisissez une seule réponse :

Attention à bien distinguer les propriétés de la fonction f, celles de la fonction f et celles de la fonction f

f est convexe sur l'intervalle If est croissante sur If est positive sur I. Autrement dit la concavité de f sur un intervalle est liée au sens de variation de f sur cet intervalle, donc au signe de f sur cet intervalle, mais elle n'est liée ni à la concavité de f, ni à celle de f.
Par exemple, dans l'Exercice 1, f est convexe sur l'intervalle [8 ;2], mais on ne peut pas en déduire que f est convexe sur cet intervalle.
Exercice 2
Soit h une fonction deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de sa dérivée seconde, h.
Lequel de ces points est un point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction h ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Attention aux lectures graphiques

Par exemple, dans l'exercice précédent, si par inadvertance on considère que la courbe donnée est celle de la dérivée h et non celle de sa dérivée seconde alors on en déduit que les points d'inflexion de la courbe de h sont A et B.
Attention à rester vigilant si l'exercice demande une lecture graphique. Toujours bien vérifier si la courbe en question est celle de la fonction, celle de sa dérivée ou celle de sa dérivée seconde.
Exercice 3
Soit g une fonction deux fois dérivable. On donne ci-dessous sa courbe représentative et celle de sa dérivée seconde, g.
Ci-dessous les réponses de quatre élèves qui devaient démontrer en utilisant soit la fonction g, soit la fonction g que le point d'abscisse 2 est un point d'inflexion de la courbe de g, et les commentaires de leur professeur.
Remettre les commentaires dans le bon ordre.
1

On peut utiliser la dérivée seconde pour déterminer si un extremum est un maximum ou un minimum

Si on sait que la fonction f a un extremum en 1 et qu'elle est convexe sur l'intervalle [0 ;2], peut-on en déduire si cet extremum est un maximum ou un minimum ?
La réponse est "Oui" ! f est convexe sur l'intervalle [0 ;2], donc sa courbe a cette allure : . Le point d'abscisse 1 ne peut être qu'un minimum.
De même si une fonction a un extremum sur un intervalle sur lequel elle est concave, cet extremum ne peut être qu'un maximum.
Exercice 4
Soit h une fonction deux fois dérivable. On donne ci-dessous sa courbe représentative et celle de sa dérivée seconde, h.
On sait de plus que h(4)=0. Quelle est la propriété de l'une des dérivées de h qui permet de justifier que h admet un maximum local en 4 ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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