Un cercle de centre P. Les points A, B, et C sont tels que le segment A C est un diamètre. Les segments A P, P B, et C P sont des rayons du cercle. qui mesurent vingt-cinq unités. L'angle A P D mesure trois dixièmes de pi.

Quelle est la longueur de l'arc $\overset{⌢}{B C A}$ ‍ ?

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$\frac{85}{2} π$ ‍
(Choix B)
$\frac{35}{2} π$ ‍
(Choix C)
$\frac{15}{2} π$ ‍
(Choix D)
$\frac{17}{10} π$ ‍

On cherche la longueur du grand arc de cercle dont les extrémités sont

B

‍ et

A

‍.

La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui l'intercepte. On calcule donc d'abord la circonférence du cercle.

[P C]

‍ est un rayon donc le rayon du cercle est égal à

25

‍.

$\begin{aligned} Circonférence & = 2 π r \\ = 2 π \times 25 \\ = 50 π \end{aligned}$ ‍

On calcule la mesure de l'angle au centre qui intercepte l'arc.

La circonférence d'un cercle est égale à

2 π

‍ radians, donc la somme de la longueur du petit arc de cercle et du grand arc de cercle de mêmes extrémités est égale à

2 π

‍ radians.

$Mesure de l’angle au centre qui intercepte l’arc \overset{⌢}{B C A} = 2 π - \frac{3}{10} π$ ‍

L'angle au centre qui intercepte l'arc

\overset{⌢}{B C A}

‍ est égal à

\frac{17}{10} π

‍.

On en déduit que :

$\begin{aligned} \frac{longueur de l’arc}{circonférence} & = \frac{angle au centre qui l’intercepte en radians}{angle plein en radians} \\ \frac{longueur de l’arc}{50 π} & = \frac{(\frac{17}{10} π)}{2 π} \\ longueur de l’arc & = \frac{17 π}{10} \times \frac{50 π}{2 π} \\ = \frac{85}{2} π \end{aligned}$ ‍

La longueur de l'arc $\overset{⌢}{B C A}$ ‍ est égale à $\frac{85}{2} π$ ‍.

Exercice 2

Dans cette figure la longueur du segment

[P A]

‍ est

3

‍.

Un cercle de centre P. Les points A, B, C, D et E sont sur le cercle. Les segments A P, B P, C P, D P et E P sont des rayons du cercle, ils mesurent trois unités. L'angle A P B mesure onze pi sur dix-huit. L'angle C P D mesure pi sur trois. L'angle C P D est un angle droit.

Quelle est la longueur de l'arc $\overset{⌢}{D A C}$ ‍ ?

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$5 π$ ‍
(Choix B)
$6 π$ ‍
(Choix C)
$π$ ‍
(Choix D)
$\frac{5}{3} π$ ‍

On cherche la longueur du grand arc de cercle dont les extrémités sont

C

‍ et

D

‍.

Un cercle de centre P. Les points A, B, C,DD et E sont tels que les segments A P, B P, C P, D P, et E P sont des rayons du cercle. ls mesurent trois unités. L'angle A P B mesure onze pi divisé par huit. L'angle C P D mesure pi sur trois. L'angle CPD est droit. L'arc DAC est surligné.

La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui l'intercepte. On calcule donc d'abord la circonférence du cercle.

[P A]

‍ est un rayon donc le rayon du cercle est égal à 3.

\begin{aligned} Circonférence & = 2 π r \\ = 2 π \times 3 \\ = 6 π \end{aligned}

‍

On calcule la mesure de l'angle au centre qui intercepte l'arc.

La circonférence d'un cercle est égale à

2 π

‍ radians, donc la somme de la longueur du petit arc de cercle et du grand arc de cercle de mêmes extrémités est égale à

2 π

‍ radians.

Mesure de l’angle au centre qui intercepte l’arc \overset{⌢}{D A C} = 2 π - \frac{π}{3}

‍

L'angle au centre qui intercepte l'arc

\overset{⌢}{D A C}

‍ est égal à

\frac{5}{3} π

‍.

On en déduit que :

\begin{aligned} \frac{longueur de l’arc}{circonférence} & = \frac{angle au centre qui l’intercepte en radians}{angle plein en radians} \\ \frac{longueur de l’arc}{6 π} & = \frac{(\frac{5}{3} π)}{2 π} \\ longueur de l’arc & = \frac{5}{3} π \times \frac{6 π}{2 π} \\ = 5 π \end{aligned}

‍

La longueur de l'arc $\overset{⌢}{D A C}$ ‍ est égale à $5 π$ ‍.

Exercice 3

[A D]

‍ et

[B E]

‍ sont des diamètres du cercle de centre

P

‍ et

P B = 10

‍.

Un cercle de centre P. Les points A, B, C, D et E sont sur le cercle. Les segments A P, B P, C P, D P et E P sont des rayons du cercle, ils mesurent dix unités. L'angle BPC mesure pi sur trois. L'angle A P E mesure dix-neuf pi sur trente-six.

Quelle est la longueur en radians du petit arc $\overset{⌢}{C D}$ ‍ ?

Choisissez une seule réponse :

(Choix A)
$\frac{7}{36} π$ ‍
(Choix B)
$\frac{95}{18} π$ ‍
(Choix C)
$\frac{10}{3} π$ ‍
(Choix D)
$\frac{35}{18} π$ ‍

On cherche la longueur du petit arc de cercle dont les extrémités sont

C

‍ et

D

‍.

La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui l'intercepte. On calcule donc d'abord la circonférence du cercle.

[P B]

‍ est un rayon donc le rayon du cercle est égal à

10

‍.

$\begin{aligned} Circonférence & = 2 π r \\ = 2 π \times 10 \\ = 20 π \end{aligned}$ ‍

On calcule la mesure de l'angle au centre qui intercepte l'arc.

A \hat{P} E

‍ et

B \hat{P} D

‍ sont opposés par le sommet donc ils sont égaux.

$\begin{aligned} A \hat{P} E & = B \hat{P} D \\ \frac{19}{36} π & = \frac{π}{3} + C \hat{P} D \\ \frac{7}{36} π & = C \hat{P} D \end{aligned}$ ‍

L'angle au centre qui intercepte le petit arc

\overset{⌢}{C D}

‍ est égal à

\frac{7}{36} π

‍.

On en déduit que :

$\begin{aligned} \frac{longueur de l’arc}{circonférence} & = \frac{angle au centre qui l’intercepte en radians}{angle plein en radians} \\ \frac{longueur de l’arc}{20 π} & = \frac{(\frac{7}{36} π)}{2 π} \\ longueur de l’arc & = \frac{7}{36} π \times \frac{20 π}{2 π} \\ = \frac{35}{18} π \end{aligned}$ ‍

La longueur en radians de l'arc $\overset{⌢}{C D}$ ‍ est égale à $\frac{35}{18} π$ ‍.

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Oumayma Ben Harzallah
Posté il y a il y a 8 ans. Lien direct vers le message de Oumayma Ben Harzallah «ex 3 la résultat 50pi/36 ... »
ex 3 la résultat 50pi/36 donc c'est 25pi/18 !
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