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Démonstration de la formule d'addition pour la fonction cosinus

Transcription de la vidéo

l'objectif de cette vidéo est de démontrer cette identité trigonométriques du caussinus de l'addition de deux ans que tu as également appliquée dans quelques autres vidéos dans cette section sans pour autant peut-être savoir d'où vient cette cette formule est pour l'a démontré on va utiliser le même schéma qu'on a fait dans la vidéo précédente et avec toutes les petites choses qu'on avait démontré au passage par exemple que ce côté assez étayé le cosinus de bêta tout ça et bien il faut voir la vidéo précédente pour pour savoir d'où ça vient donc je vais repartir du de de la fin de la vidéo précédente et utiliser tout ce qu'on a fait avant pour démontrer cette formule alors comment est ce qu'on fait pour démontrer cette formule caussinus alpha plus bêta d'abord on aimerait le visualiser sur ce schéma comment est-ce qu'on peut exprimer caussinus de alpha plus bêta en fonction des des côtés en qu'on assure en fonction de la longueur des côtes et qu'on a sur ce dessin et bien il faut se placer dans le triangle a eu des rectangles à eux parce que dans ce triangle à ed on a bien un un angle qui vaut alphabus bêta et le cosinus de alpha plus bêta c'est le côté adjacent à eux / l'hypoténuse 2 1 donc c'est tout simplement à caussinus de l'alfa plus bêta est égal à 1 e et comme dans la vidéo précédente l'astuce ici c'est derrière eux comme la différence de deux côtés de la longueur de deux côtés et à eux ont voit facilement ici que c'est égal à a b g pointillés orange ici ab - ce et et eb - eb ici donc si on arrive à démontrer que ab est égal à caussinus de alpha caussinus de bêta et que le bébé est égal à sinus d'alpha fascinus de beta c'est bon on a réussi à démontrer la formule du caussinus de l'addition de deux angles alors commençons par ab comment ça se fait que ab est égal à est égal à cette expression eh bien il faut se placer dans le triangle abc ça j'espère que tu l'a deviné qui est rectangle en b et ab il est il est en lien avec le cosinus de alpha ici parce que le cosinus de alpha il est égal à quoi illégale aux côtés adjacent avait justement / l'hypothénuse ab / la longueur de l'hypoténuse qu'on a qu'on a déjà trouvé dans la vidéo précédente et qui vaut que si news de bêta et ben ça y est on a accompli notre premier objectif qui était de démontrer que ab est égal à caussinus de alpha x caussinus de bêta qu'on déduit tout simplement de cette équation là en multipliant les deux côtés par que sinus de bêta donc voilà on a réussi à démontrer ce cette première chose ce lien entre ab et caussinus alpha caussinus bêta alors la deuxième chose qu'on aimerait dès qu'on voulait démontrer ceb est égal à sinus alpha facilite bêta et pour cela et bien il faut avoir un peu le l'intuition ici que le b il est égal à fc du fait que fcpe est un rectangle de bt gala ufc donc si on n'arrive pas à démontrer que fc est égal à cette expression c'est bon aussi et là comment on fait et on doit se placer dans ce triangle rectangle dfc rectangle en f et on voit que la longueur du côté fc il est en lien avec le sinus de alpha 1 car s'il use de alpha dans ce triangle rectangle il est égal au côté opposé donc fc / l'hypothénuse et dans la vidéo précédente on a démontré que l'hypothénuse la longueur de l'hypoténuse est égal à sinus de beta donc ça y est on y est presque fc est égal à quoi il faut multiplier les deux côtés de l'équation par simus de bêta et on obtient fc est égal à 6 bus de alpha x sinus de bêta ce qui fait qu'on a accompli notre deuxième objectif car on sait que fc est égale à e bay donc si luce de alpha fascinus de bêta est aussi égale à e bay on a donc fait la deuxième partie du job qui était de démontrer que eb est égal à sinus de alpha silice de bêta vu que ab est égal au premier terme de cette de cette expression est que eb est égale le deuxième terme de cette expression et qu'on a bien caussinus alpha plus bêta est égal à ab - eb à partir de considérations géométriques simples à partir de ce schéma eh bien on a réussi à démontrer cette formule la formule du caussinus de l'addition de deux angles