If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :8:26

Démonstration de la formule d'addition pour la fonction sinus

Transcription de la vidéo

l'objectif de cette vidéo est de démontrer cette identité trigonométriques tu as peut-être déjà utilisé cette formule du sinus de l'addition de deux ans tu as peut-être déjà appliquée dans d'autres vidéos exercice et là on va voir d'où vient cette formule 1 c'est utile de démontrer les formules pour comprendre d'où elles viennent et améliorer les compétences en mathématiques de manière générale alors comment est-ce qu'on prouve cette formule aidant la première idée de génie qu'il faut avoir c'est de dessiner ce schéma là où on a deux triangles rectangles conte à supposer qu'on est là qu'on a superposé l'un sur l'autre l'un qu'il ya un angle de alpha ici l'autre qui a un angle de bêta est une hypothèse de 1 tu vas voir que ça va nous servir d'eux de définir que cette hypothèse use est égal à 1 dans ce triangle rectangle alors l'intérêt de ce schéma tu vois bien que c'est d'avoir formé déjà un angle alpha plus bêta est maintenant première question que je te poser à chaque fois que je te pose une question je te conseille de faire pause sur la vidéo est d'essayer de comprendre partout même là où je joue je veux en venir première question que je te pose comment sur ce schéma là on arrive à visualiser sinus de alpha plus bêta alors la réponse est qu'il faut dessiner un autre côté il faut dessiner ce côté là on en a besoin de ce triangle rectangle ici je vais appeler ce côté eu ce triangle rectangle en a besoin parce qu'on a pour écrire une expression de sinus de alpha plus bêta et dont il faut avoir un triangle rectangle où apparaît l'angle alpha plus bêta et là tu vois que dans ce triangle rectangle où on a une hypothèse de 1 et bien le sinus de alpha plus bêta il est égal au côté opposé des oeufs / l'hypothénuse 1 donc le sinus de l'alfa plus bêta illégal tout simplement à del alors maintenant comment on fait du coup pour démontrer que des oeufs est égal à cette somme là alors ici encore une autre petite idée de génie qu'il faut avoir c'est de décomposer 2e en deux parties une première partie ici je me place un nouveau point qu'on va appeler f et j'ai formé ici un très long rectangle des fc donc j'ai des composés d eux en deux parties qui sont des f1 que je vais représenter en bleu et le fff eux que je suis en train de représenter en violet très bien donc d eux est égal à je vais l'écrire dans cet ordre là plutôt ef plus dfpf plus df le côté violet plus le côté bleu ça fait le sinus de alpha plus bêta donc maintenant on a un nouveau problème est là je vais te donner un gros indice pour que tu puisse résoudre ce problème par toi même c'est que au final le f il est égal à sinus de alpha x cocistes de bêta et ça c'est une première démonstration que tu dois faire et une deuxième démonstration que tu dois faire c'est de démontrer qu edf il est égal à caussinus de alpha x sinus de bêta et si on arrive à démontrer cette chose là vu que si nous de alpha plus bêta on vient de démontrer que c'est égal à la somme de ces deux longueurs et bien si cette longueur est égal à cette expression et sept longueurs est égal à cette expression et on aura démontré la formule du sinus de l'addition de deux angles alors commençons par f on aurait pu commencer par n'importe lequel des deux mais commençons par part démontré que ef est égal à cette expression et pour cela une fois de plus je vais donner un indice tu as besoin de passer par une étape intermédiaire qui est de trouver la longueur de ces trois côtés ici des c à c et b c et si tu arrives à trouver ses vins aura trouvé le f alors à quoi d'abord est égal à céder il faut se placer dans le triangle assez des rectangles ans et où on a un angle de bêta ici donc le sinus de bêta est égal à dc / 1 donc décès est égal aux sinus de bêta tout simplement même logique ici on peut démontrer facilement que ac est égal à caussinus de bêta parce que caussinus de bêta est égal à ac / 1 très bien il nous reste à trouver baisser alors là maintenant c'est un peu plus compliqué on doit se placer dans le triangle abc rectangle en b et on veut exprimer le sinus de alpha parce qu'on sait que dans le sinus de alpha on aura justement cette longueur besset qui est notre inconnu donc si mu de alpha est égal aux côtés opposés bc / l'hypoténuse et l'hypoténuse on vient de trouver qu'elle a une longueur de cosinus bêta donc super on a b c qui est égal à 6 muse de alpha x caussinus de bêta j'ai tout simplement x caussinus de bêta des deux côtés cette équation et vu qu'on est dans un rectangle ici on a trois angles droits ici ici et là est bien le côté baissé il est égal aux côtés le f donc on a démontré que ef est égal asinus de alpha caussinus bêta on a bien accompli notre premier objectif deuxième objectif démontrer qu edf est égal à caussinus de alpha fois-ci news bêta et là il ya un peu une astuce à avoir c'est arrivé d'abord à démontrer que cet angle la fdc il est égal à alpha est ce que tu arriveras à faire ça de démontrer que ce que cet angle là est égal à alpha alors pour cela il faut se rendre compte que fc a et c à b sont deux angles alterne interne et donc fc as et vos alpha fc st gall à alpha et ça on le sait parce que fc es ab sont parallèles à c est une c'est quand tu as ces deux droites parallèles donc on a bien deux angles alternat interne ici fc a et c à b très bien donc si cet angle est égal à alpha et que là on a un angle droit cet angle ici qui reste c'est 90 degrés - alpha et vu qu'on est dans un triangle rectangle ici dfc rectangle af et qu'on a un coût et qu'on a un angle qui vaut 90 degrés - alpha et bien l'autre angle c'est l'angle complémentaire à 90 10 - alpha donc ivo alpha très bien on vient démontrer que fdc est égal à alpha ce qui est super pratique parce que ce qu'on cherche c'est le côté des f la longueur du côté des f et ça on peut l'exprimer avec le cosinus de alpha car le cosinus de alpha assez égal aux côtés adjacent df qu'on est en train de chercher / l'hypoténuse et l'hypoténuse on a déjà démontré qu'elle est égal asinus de beta donc très bien on vient de démontrer qu edf est égal à caussinus de alpha x sinus de bêta ce qu'on obtient facilement en multipliant par simus de bêta des deux côtés de cette équation et voilà on a accompli notre deuxième et dernier objectif dans cette dans cette démonstration sachant que le premier objectif on l'avait on l'avait accompli ici donc premier objectif c'était de démontrer que ef est égal à ce produit la deuxième objectif qu edf est égal à ce produit là donc c'est bon on a on a réussi notre coup on a bien démontré que vu que sinus de alpha plus bêta est égal à ef plus df et que ef est égal asinus de alpha caussinus bêta est qu edf était yala caussinus de alpha x 6 2 bêta eh bien on a réussi à démontrer cette formule-là la formule du sinus de l'addition de deux angles