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Aire d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle

Transcription de la vidéo

ce que je voudrais faire dans cette vidéo c'est un petit peu de présenter un problème de synthèse qui va utiliser un petit peu tous les résultats ou une grande partie des résultats qu'on a vu dans ce chapitre et quelques résultats bien sûr notion que tu as vu auparavant bien évidemment donc on a un cercle et on va prendre un triangle équilatéral inscrits dans ce cercle donc inscrit dans le cercle ça veut dire ces trois sommets sont sur le cercle où je n'ai essayé de faire en triangle équilatéral voilà ça m'a l'air pas mal et donc je vais définir ici ses côtés je vais l'appeler a donc la longueur de ces trois côtés et la même puisqu'il est ou latéral et mettons que le rayon mesure pour notre problème on va dire qui mesure 2 cm est ce que je voudrais que tu trouves que tu réfléchisses un coin c'est à la surface ici que je vais hachuré en orange je voudrais pouvoir calculer la surface qui se trouve entre le triangle et le cercle donc toute cette surface qui est hachurée et pour ça et bien une chose assez simple qu'on peut faire mais ça va être de trouver la surface l'ère du cercle donc l'ère du cercle vert du cercle tu peux retourner si temps si tu t'en souviens plus sur le chapitre où on parle d'air et l'air du cercle c'est égal à pie x r au carré r étant le rayon est donc dans notre cas on appuie fois de au carré donc c'est pie x 4 et on va soustraire à l'ère du cercle l'ère du triangle l'ère du triangle voilà mais comment faire pour retrouver on ne connaît pas on a on connaît le rayon mais on ne connaît pas a donc on va chercher en fait à connaître l'ère du triangle pour pouvoir déterminer l'ère de la partie hachuré en orange donc pour avoir l'air du triangle eh bien on va utiliser quelque chose qu'on avait présentée dans le chapitre sur les terres on va utiliser la formule de héron la formule de héron la formule de héron qui d'abord spécifier une variable on m'avait être qui est égale à la somme des côtes et donc à plus à plus à sur 2 90-3 za sur deux est ensuite l'air l'air était égal à jeunes décalé un petit peu pour avoir un peu plus de place mais je vais déplacer mon a donc l'air d'un triangle qu'on va appeler à on va appeler ce triangle on va pas lui donner de nom on va juste appelé à l'ère du triangle et haas est égale à la racine carrée de est ce donc rwasa sur 2 x s - a donc 3 à sur deux - alors à comme ici on a une fraction on va mettre à omen dénominateur donc on va avoir deux à sur 2,2 à sur deux c'est égal à 1 je prolonge un peu montré de racine et en fait ça vu que le triangle équilatéral et que ces trois côtés sont égaux je vais multiplier ici par cette parenthèse trois fois donc comme je vais x lui même trois fois je vais mettre au cube donc comment est ce que je peux développer ça j'ai 3 à 1 sur 2 x je peux faire la soustraction j'ai 3 à -2 à sur deux dont gea sur deux donc g3a multiplient sur 2 x assure deux au cube donc ça fait à au cube sur est alors de au cube ça vaut 8 je lui parle la racine carrée et si je développe sa g3a fois à occupe donc à puissance 4 / 2 x 8 16 g iii a su puissance 4 sur 16 et ça on peut encore le simplifier à racine carrée de à puissance 4 c'est égal à la puissance 2 et racine carrée de 16 c'est égal à 4 et donc on a à au carré x racine carrée de 3 / 4 voilà l'expression littérale de l'air de notre triangle et on l'a calculé on la laisse de côté maintenant le but du jeu ça va être de trouver un moyen pour déterminer à et qu'est ce que je sais d'autres sujets d'un triangle équilatéral et bien il à ses trois côtés de la longueur mais il a également c'est trois angles de même mesure en une autre couleur il a ses trois angles de même mesure et puisqu'ils sont de même mesure avec la somme tous les angles d'un triangle est égal à 180 eh bien chacun de ses angles vaut 60 degrés j'ai 60 degrés l'âge et 60 degrés et j'ai 60 degrés maintenant voyons voir si je peux déterminé quelque chose à partir de cet angle inscrit j'ai trois angles inscrit finalement donc si je prends celui-là mettons que je prenne cet angle inscrire l'un est bien s'étend des inscrits ils interceptent un arc de cercle cet arc de cercle c'est celui-là il intercepte cet arc de cercle que je fais pas très proprement en violet le cercle grand donc ils interceptent cet arc de cercle et jeu qu'est ce que je sais avec les angles au centre et les angles inscrit eh bien je sais que l'anglo centre vaut le double de l'angle inscrits qui intercepte le même arc bon je viens de citer la propriété qu'on avait démontré un peu plus tôt donc ici j'ai un angle centre est bien lui il vaut le double de l'angle inscrit ils puissent qu'ils intercèdent tous les deux le même arc donc là je vais avoir 60 x 2 g cent vingt 120 degrés donc je me retrouve avec un triangle rouge jaune ici un triangle rouge et jaune qui est en fait un triangle isocèle puisque là j'ai deux côtés de même longueur puisque ce sont tous les deux des rayons maintenant mettons que je me décide de tracer la bissectrice de cet angle au centre de 120 degrés on sait que la bissectrice pour un triangle isocèle tout du moins celle qui part du de l'angle compris entre les deux angles de même longueur et bien la bissectrice c'est également une hauteur et c'est également une médiatrice une médiane tout ce qu'on veut et puisque c'est une auteure elle intercepte le côté opposé verticalement mais surtout puisque c'est la médiatrice et bien elle coupe le côté opposé en deux côtés de même longueur donc ici je vais avoir un côté mais notre côté qui sont de même longueur et comme c'est la médiatrice et bien ça vaut à sur deux ga sur deux donc je me retrouve avec un petit triangle que je vais reprendre un petit peu plus plus proprement donc j'ai un triangle admis triangle j'ai admis triangle sens où c'est la moitié du triangle isocèle qui est droit et j'ai plusieurs informations ici j'ai le rayon le rayon qui est égal à 2 et la ga sur deux et j'ai également cet angle là qui vaut 60 degrés puisque la hauteur la sas et la bissectrice de langue de 120° donc s'accouplant glandeuse anglais qu donc j'ai 60 degrés donc si je résume un petit peu les informations que j'ai en triangle j'ai ni poté n'use ici qui vaut qui est un rayon dans cercle à la base et qui vaut deux j'ai un côté opposé à un angle qui vaut à sur deux et j'ai la mesure d'un angle j'ai la mesure de trois en fait puisque j'ai un angle droit aussi dans ce tri un grec donc là normalement je devrais penser à trigonométrie tout de suite si t'as jamais vu ou si le mot trigonométriques fait peur tu peux retourner voir des vidéos sur les toutes premières vidéos sur la trigonométrie et pour pouvoir répondre dé revenir tout de suite après donc on a hypothéqué côté opposé ce à ses côtés adjacent pour cet angle serait le côté opposé si on parlait de l'autre angle bon on se comprend et bien ça tout de suite tu dois penser à sinus sinus le sinus d'un angle sinus d'un an quelconque on va appeler l'état c'est égal à côté opposé sur epoté news et ici on asinus de 60 qui va être égal aux côtés opposés qui est égal à à sur deux donc sinus de 60 qui est égal à assure de diviser par deux autrement dit à sur quatre je fais tomber le 2 alors maintenant le but ça va être de trouver à quoi est égale sinus de 60 on n'a pas de calculatrices simus de 60 ans qu'est ce que c'est et bien c'est quand même une des valeurs remarquables du sinus que tu peux donc tu pètes et essayer de te souvenir est un bon moyen c'est de souvenirs simplement de ce triangle c'est un triangle oui si tu as un angle à 60 degrés bien sûr tu as un angle droit et un angle à 30 degrés et c'est le triangle rectangle dont l'hypoténuse et 1 et bien la longueur des côtés si tu fais la construction a même et que tu mesures à la limite si tu te souviens pas et bien ici tu vas avoir un côté de 1 sur 2 et là tu vas avoir un côté de racines de 3 sur deux donc tu peux déterminé grâce à sa sinus de 60 qui est égal à côté opposé / et ça continue ce qui est égale à la somme de 3 / 2 et tu peux aussi obtenir le sinus de 30 par exemple qui va est égale 1 me donc ce qui nous intéresse ici c'est sinueux de 60 on va avoir sinus de 60 ici kiéthéga la racine de 3 sur deux racine de 3 sur deux je descende encore un peu et bien c'est égal à 1 sur 4 donc je fais passer le cadre de l'autre côté et je déduis que a est égal à 4 fois racines de 3 / 2 donc je simplifie 4 en deux et donc ça fait deux fois racines de 3 et là je touche vraiment au but j'ai trouvé que a été égale à deux fois racines de 3 donc si je reviens à l'air de ma partie hachuré donc on va appeler à h 1 puisque de la partie rassurés on a on va avoir quatre fois puis moins l'air de notre triangle pour lequel on a déterminé à l ère de notre triangle c'est quoi ou bien c'est à qui on va introduire est dedans donc ca au cari fois racines de trois sur quatre on va élever à au carré d'abord donc je vais avoir pour l'air de notre triangle équilatéral à au carré à au carré donc l'écrire directement au carré x racines de 3 / 4 ea au carré ségala quoi c'est égal à 2 au carré ou 4 x racines de trois au carré donc j'ai 4 x 3 x racines de 3 le tout divisé par quatre et donc ça me donne trois racines de 3 et là je suis il me reste encore juste une étape j'ai l'air de mon triangle équilatéral trois racines de trois jeux la reporte là dedans donc trois racines de 3 est en fait je me retrouve avec une expression que je peux pas vraiment simplifié donc on infinie on a déterminé l'air de cette surface hachuré on avait très envie de la calculer donc on l'a calculé l'air de cette surface d'un doublement gribouillé elle vaut quatre fois puis moins trois racines de 3 voilà j'espère que tu as trouvé ce petit exercice complet et puis peut-être assez satisfaisant compte tenu de la la quantité d'informations et de propriété qu'ils utilisent pour pouvoir arriver à un résultat résultat particulier