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Valeur moyenne, amplitude et période d'une fonction périodique - Savoirs et savoir-faire

Ce qu'il faut retenir.

La valeur moyenne, l'amplitude et la période d'une fonction trigonométrique

Voici une représentation graphique et les défintions :
Une période d'une courbe trigonométrique. Un segment horizontal en pointillés traverse le milieu de l'onde trigonométrique et est appelée valeur moyenne. La distance entre la valeur moyenne et le point maximum de l'onde est la même que celle qui sépare le point minimum de la valeur moyenne. La distance entre valeur moyenne et le maximum ou entre la valeur moyenne et le minimum s'appelle l'amplitude. La distance entre le point situé sur la droite valeur moyenne avant le maximum et le point situé sur la droite valeur moyenne après le minimum est appelée période.
La valeur moyenne est la demi-somme du maximum et du minimum de la fonction.
L’amplitude est la distance entre l'un des points représentatifs d'un extremum et la droite parallèle à l'axe des x qui passe par la valeur moyenne.
Si f est la fonction trigonométrique sa période est le plus petit nombre positif T tel que quel que soit x, f(x+T)=f(x). La période est, par exemple, la plus petite distance entre deux points représentatifs d'un maximum.

Comment les déduire de la courbe représentative de la fonction

Voici un exemple :
La courbe d'une fonction trigonométrique est représentée dans un repère orthonormé (x et y). La graduation des axes est de un. La valeur moyenne est à y égal cinq. Les maximums du graphique ont pour ordonnée sept et les points les minimums du graphique ont pour ordonnée quatre. La période est de quatre unités sur l'axe des x. Aucun point n'est légendé.
On lit sur le graphique que, par exemple, la fonction atteint son maximum qui est égal à 7 en 1 et en 5 et son minimum qui est égal à 3 en 3.
La courbe d'une fonction trigonométrique est représentée dans un repère orthonormé (x et y). La graduation des axes est de un. La valeur moyenne est à y égal cinq. Les maximums du graphique ont pour ordonnée sept et les points les minimums du graphique ont pour ordonnée quatre. La période est de quatre unités sur l'axe des x. La période est de quatre unités sur l'axe des x. Les maximums ont pour coordonnées (un,sept) et (cinq,sept). Le point minimum entre les deux a pour coordonnées (trois,trois).
La demi-somme du maximum et du minimum est égale à (7+3)/2, donc la valeur moyenne de la fonction est 5.
La courbe d'une fonction trigonométrique est représentée dans un repère orthonormé (x et y). La graduation des axes est de un. La valeur moyenne est à y égal cinq. Les maximums du graphique ont pour ordonnée sept et les points les minimums du graphique ont pour ordonnée quatre. La période est de quatre unités sur l'axe des x. La période est de quatre unités sur l'axe des x. Les maximums ont pour coordonnées (un,sept) et (cinq,sept). Le point minimum entre les deux a pour coordonnées (trois,trois).
La distance entre un point représentatif d'un maximum et la droite d'équation y=5 est égale à 75, donc l'amplitude de la fonction est égale à 2.
La représentation graphique d'une fonction sinuosidale dans le repère cartésien. Les graduations de l'axe x et de l'axe y sont de un. La droite valeur moyenne est en pointillés et à pour équation y égale cinq. La valeur maximum est de sept et la valeur minimum est de trois. La période est de quatre sur l'axe des abscisses. Les points maximum ont pour ordonnée sept et les points minumum ont pour ordonnée trois. Une période s'étend sur un intervalle de quatre unités sur l'axe des x. Les points maximums ont pour coordonnées (un, sept) et (cinq, sept). Un segment vertical en pointillés va de chaque maximum à la droite d'équation y égal valeur moyenne pour visualiser l'amplitude. Le minimum entre ces deux maximum a pour coordonnées (trois, trois). Un segment vertical en pointillés va de ce minumum à la droite d'équation y égal valeur moyenne pour visualiser l'amplitude aussi.
La plus petite distance entre deux points représentatifs d'un maximum est égale à 51, donc la période de la fonction est égale à 4.
La représentation graphique d'une fonction sinuosidale dans le repère cartésien. Les graduations de l'axe x et de l'axe y sont de un. La droite valeur moyenne est en pointillés et à pour équation y égale cinq. La valeur maximum est de sept et la valeur minimum est de trois. La période est de quatre sur l'axe des abscisses. Les points maximum ont pour coordonnées (un, sept) et (cinq, sept). Une accolade est entre ces deux points. Un segment vertical en pointillés va de chaque maximum à la droite d'équation y égal valeur moyenne pour visualiser l'amplitude. Le minimum entre ces deux maximum a pour coordonnées (trois, trois). Un segment vertical en pointillés va de ce minumum à la droite d'équation y égal valeur moyenne pour visualiser l'amplitude aussi.
Exercice 1
Quelle est l'équation de la parallèle à l'axe des x qui passe par la valeur moyenne de la fonction ?
y=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

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