Un premier exemple d'équation irrationnelle

dans cette vidéo on va commencer à voir des équations dans lequel on a des racines carrées qui sont impliqués est ce qu'on va essayer de faire en général lorsqu'on a une équation avec une racine carrée c'est qu'on va essayer de l'isoler et pour pouvoir s'en débarrasser donc en l'élevant au carré ou quel que soit le degré du radical donc ici on a un radical de degré 2 donc une racine carrée et on va élever au carré de part et d'autre du signal donc on va prendre le car et à gauche et à droite et donc ce qu'on se dit c'est que la partie de gauche au carré devrait être égal à la partie de droite au carré ça semble acceptable et ça ça va nous donner x est égal à alors ici on a une identité remarquable avec à moimbé au carré donc on se souvient de notre du développement d'une identité remarquable et si tu te souviens pas bien tu peux aller le revoir dans les vidéos qui qui le traite donc on a 2 x au carré donc ça nous donne 4 x au carré - le double produit 2 x 6 x 2 x donc 2 x 6 x 2 x ça fait 24 x 2 x 6 12 fois de 24 x x + 6 okah et 6 x 6 36 maintenant qu'on est là on arrive à une équation du second degré avec x au carré - 24 x + 36 avec un mix de l'autre côté qu'on va ramener du même côté du signe égal donc on va soustraire on va faire moins x des deux côtés - x + 6 pour simplifier ici et on obtient que 0 égal à 4 x au carré - 25 x - 24 x 3 x savent au moins 25 x + 36 pour bien maintenant qu'on est là on a une équation du second degré on a zéro égal à 4 x au carré - 25 x + 36 et on se souvient de mais on va pas leur démontrer bien sûr qu'ils nous donnent les deux solutions ou bien l'unique ou alors ça se trouve il n'y a pas de solution mais là on ça va être un cas où on va avoir des solutions il faut bien sûr calculé le delta pour ça et si on a deux solutions on a les deux solutions qui sont égales à x qui sont égales à - b alors - bc le petit b de l'équation du second degré ici c'est noir 25 donc moins baissé 25 plus ou moins racine carrée de delta et delta c'est becquart et -4 assez alors b caresser 25 au carré alors je mets 25 ans carré en fait c'est moins 25 rocard et mémos 25 au carré c'est pareil que 25 o car est donc déclarée - 4 ha c'est alors qu'a tracé c'est moins 4 x 4 x 36 ça c'est le delta et on va avoir deux solutions bien sûr si deltae positif et on divise sa part 2 à 2 à ses 4 2 x 4 voilà donc nos deux solutions sont résumées ici avec 25 plus ou moins racine carrée de delta divisé par deux a alors ici on l'a fait à la calculatrice pour voir à quoi est égal tout le delta est en fait le delta je te laisse vérifier à la calculatrice le delta il est égale à 49 si tu fais 25 au carré - 4 x 4 x 36 ça vaut 49 et 49 c'est simple c'est pratique c'est le carré de 7 c'est le carré parfait de cette donc on a x qui est égal à 25 plus ou moins 7 sur 8 ce qui nous donne soit 1 x 1 on va appeler la première solution x 1,25 +7 ça fait 32 sur huit alors 32 sur huit cia l'a 4 32 c'est égal à 4 x 8 où on à x2 qui égale à cette fois-ci 25 - 7 donc 18 / 8 qui est égale aussi à 9 / 4 c'est aussi égal à 2,25 donc voilà on a nos deux solutions de notre équation du second degré ici en à x égale 4x égal à 2,25 et finalement ces deux solutions on va essayer de les réintégrer si on les réintègre dans notre équation initial on devrait pouvoir vérifier que ces deux solutions respecte cette équation et bien c'est là que d'un phénomène intéressant ce produit et on va voir maintenant ce qui se passe lorsqu'on reprend nos deux solutions et qu'on les réintègre dans notre équation initial alors allons-y commençons par quatre si on prend 4 alors quand on prend x1 on devrait avoir donc racine de 4 qui devrait être égal à 2 x 4 - 6 j'ai juste et simplement repris ma première solution est de les réintégrer dans l'équation initial donc racine de 4 ségala 2 et samedi que ça devrait être égal à 2 x 4 - 6 2 x 4 et 8 8 - 6 2 donc c'est parfait quatre fonctionnent bien 4 et bien une solution de cette équation de notre équation initial maintenant si on fait la même chose avec 2,25 je vais prendre 2,25 racine carrée 2,25 et je vais dire que ces gars là deux fois 2,25 -6 alors racines 42,25 tu peux peut-être reconnaître que 225 c'est le carré parfait de quinze 15 x 15 ça vaut 225 donc racine carrée de 2,25 ça devrait être égal à 1,5 bon si tu le reconnais pas tu peut le vérifier à la calculatrice tu fais racine carrée 2,25 et tu vas tomber sur 1,5 maintenant ça ça nous dit quoi sommes-nous dit que 1,5 c'est égal à 2 x 2 25-2 un caveau 4.52 fois 2025 - 6 et ça nous dit quoi ça ça nous dit qu 1,5 doit être égale à moins-15 et ça bien sûr c'est faux donc qu'est-ce qui s'est passé ça nous dit que 2,25 n'est pas solution lorsqu'on reprend de 25 et qu'on la réintègre dans x ça l'équation n'est pas vérifiée donc 2,25 n'est pas une solution on dit que c'est une solution étrangères alors qu'est ce qui s'est passé ici il semblerait que tout ce qu'on ait fait soit juste on a élevé au carré on a obtenu une équation du second degré on l'a résolu et on a obtenu de solutions qu'est ce qu'on a fait de mal ici pour obtenir une solution qui ne soit pas justement solution de l'équation initial eh ben ça c'est ce qu'on va voir tout de suite et déjà ce qu'on pourrait voir ses essayer de remettre x1 et x2 dans cette équation l'équation ici mais en fait ce don donc je te propose de le faire de suremain petit brouillon maintenant et tu vas te rendre compte que en fait à la fois x1 et x2 respecte cette équation bien sûr c'est le procédé on a résolu cette équation on a obtenu deux solutions en fait donc ces deux solutions respecte cette équation mais elle respecte pas l'équation initiale en jaune alors attention quand je parlais caution initiale c'est bien sûr sans lait sans avant de l'avoir élevée au carré ça c'est justement l'opération qu'on a fait donc il semblerait qu'il se passe quelque chose lorsqu'on est lorsqu'on élève au carré et qu'on passe de cette équation en jaune à cette équation donc là on élève au carré pour obtenir l'équation du second degré on élève au carré cette première équation donc ici les deux solutions pour notre équation du second degré fonctionne et là elle ne fonctionne pas donc qu'est ce qui se passe on arrivait au carré et finalement lorsqu'on élève au carré et bien on perd de l'information pourquoi puisque je vais reprendre ça puisque quand on dit que x parce qu'on a élevée au carré lorsqu'on dit que x est égal à 2 x - 6 au carré et bien en fait écrire ça c'est la même chose que d'écrire x est égal à - 1 x 2 x - 6 le tout au carré puisque élevée au carré ça fait disparaître le moins un est donc finalement cette équation cette équation on a transformé notre première équation en 7 secondes équation du second degré et 7 secondes équation du second degré elle peut très bien correspondre à ce cas là aussi bien que ce cas mais en fait nous on a résolu donc pour ces deux équations mais finalement la première finalement cette équation n'était uniquement que représentatif de cette première partie ici 2x moins 6 et donc quand on prend la racine carrée ici pour venir nous on reprend uniquement la racine carrée qui correspond à cette équation et non pas cette équation c'est pour ça que on a une solution qui est étrangère puisque cette solution-là correspond à cette équation cette solution-là correspond à cette équation tandis que cette celui sur la correspond à cette équation et finalement on voit pourquoi donc on a une solution étrangères est alors j'espère que cette mais pas un peu le trouble dans ta tête c'est juste une petite explication j'espère que tu as juste grâce à sa l'intuition de pourquoi est ce qu'on obtient une solution étrangères finalement quand on élève au carré on perd de l'information et finalement ce qu'il va falloir faire lorsqu'on a une équation avec un radical s'est développée élevée au carré trouver les solutions mais ensuite toujours vérifier en reportant les solutions qu'on a trouvé dans la première équation et voir quelle est la solution qui vérifie effectivement cette première équation pour pouvoir faire la distinction et obtenir la vraie solution est supprimée celle qui convient pas