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5e année secondaire - 6h
Cours : 5e année secondaire - 6h > Chapitre 2
Leçon 30: Applications de la dérivation- Ordonnée à l'origine d'une tangente à la courbe de la fonction inverse
- Équation d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction
- Distance parcourue par une particule
- Analyse graphique du mouvement d'une particule
- Mouvement d'une particule
- Les points critiques d'une fonction
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 1)
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 2)
- Minimum ou maximum local
- Minimum ou maximum local
- Maximum ou minimum absolu d'une fonction sur son domaine de définition
- Faire le point sur le sens de variation d'une fonction
- Étude de la concavité d'une fonction
- Étude de concavité (exemple)
- Concavité d'une fonction et dérivée seconde
- Concavité d'une fonction
- Utiliser la dérivée seconde
- Fonction convexe ou fonction concave - Savoirs et savoir faire
- Points d'inflexion
- Points d'inflexion 1
- Points d'inflexion 2
- Points d'inflexion - Savoirs et savoir-faire
- Déduire des dérivées d'une fonction polynôme l'allure de sa courbe représentative
- Déduire des dérivées d'une fonction ln l'allure de sa courbe représentative
Minimum ou maximum local
Pour vérifier que vous avez bien compris et mémorisé.
Comment déterminer les extremums locaux d'une fonction ?
f est une fonction définie sur un intervalle I et a, ∈, I. f admet un maximum local sur I en a signifie que f, left parenthesis, a, right parenthesis est la plus grande valeur de la fonction f sur I. On peut en déduire que f est croissante pour les valeurs de x inférieures à a et décroissante pour les valeurs de x supérieures à a.
f est une fonction définie sur un intervalle I et a, ∈, I. f admet un minimum local sur I en a signifie que f, left parenthesis, a, right parenthesis est la plus petite valeur de la fonction f sur I. On peut en déduire que f est décroissante sur un intervalle open bracket, a, minus, h, space, ;, a, close bracket et croissante sur un intervalle open bracket, a, space, ;, a, plus, h, close bracket avec h, is greater than, 0.
Après la leçon qui fait le point sur le sens de variation d'une fonction il s'agit ici de vous permettre de vérifier si vous avez bien compris comment déterminer les extremums locaux d'une fonction.
Exemple
Soit la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7. Pour trouver ses extremums locaux, on commence par calculer sa dérivée :
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
Les points à étudier sont minus, 3 et 1.
Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis pour connaître le signe de f, prime sur l'intervalle.
| Intervalle | Valeur de x | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusion |
|---|---|---|---|
| close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 3, open bracket | x, equals, minus, 4 | f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 | f est croissante. \nearrow |
| close bracket, minus, 3, space, ;, 1, open bracket | x, equals, 0 | f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0 | f est décroissante. \searrow |
| close bracket, 1, space, ;, plus, ∞, open bracket | x, equals, 2 | f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 | f est croissante. \nearrow |
On en déduit ce tableau :
| x | Avant | Après | Conclusion |
|---|---|---|---|
| minus, 3 | \nearrow | \searrow | Maximum local |
| 1 | \searrow | \nearrow | Minimum local |
La fonction a un maximum en minus, 3 et un minimum en 1.
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