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Déduire des dérivées d'une fonction polynôme l'allure de sa courbe représentative

Transcription de la vidéo

l'objectif de cette vidéo est d'analyser le sens de variations et la concavité de f afin de tracer sa courbe représentative donc là je te préparer un peu un plan de bataille en trois étapes d'abord trouver d'expression de f prime la factory c'est étudié son signe afin de trouver le sens de variation de f ensuite trouver la dérivée seconde de f pour étudier la concavité de f ensuite ça ça va nous donner des informations sur le sens de variations et la concavité de f et ce qui va nous permettre de tracer sa courbe représentative donc voilà le plan de bataille que je te proposait d'ailleurs fait pose parce que là je pense que tu seras capable de le faire par toi même et une fois que tu as tu essayé de le faire par toi même et ben vérifions la solution alors f primes de x est égal à quoi donc 12 x cube - 12 x car et +0 car la dérive est de 2 c zéro et ça on va le factoriser en vue de faire l'analyse de signes et on peut factoriser sa part 12 x carré et on obtient deux ex carré facteur 2 x - 1 donc la dérive et s'annule pour deux valeurs de x lorsque x est égal à zéro et lorsque x est égal à 1 donc en 0 et enfin il se passe quelque chose de particulier sur la fonction elle frimmel s'annulent ensuite pour étudier le signe de f prise je vais utiliser le signe de chacun de ces facteurs donc 12x carré est positive partout et nulle en zéro donc donc ça ça ne m'intéresse pas pour étudier le signe de f ensuite x - 1 ce facteur là est négatif avant un est positif après un ok donc ça ça me permet de dire que en fait la dérive est négative puis elle atteint 0 puis elle et elle continue d'être négative et ensuite elle devient positive donc ce qu'est ce que ça veut dire pour la variation de fbf et des croissants jusqu'à 0 où elle atteint un point stationnaire et ensuite elles continuent de décroître jusqu'à 1 puis elle atteint un minimum local puis elle est croissante donc voilà ce que nous dit la dérivée de la fonction ensuite la dérivée seconde l'expression la dérivée seconde on va la déduire à partir de la dérive et première donc ici on a trois fois 12 36 6 carré - 24x que je peux à factoriser par 12x et ça me donne 12 x factor de 3x moins deux très bien donc une fois de plus on va faire une une analyse de signe donc on voit que la dérivée seconde va atteindre la valeur zéro en pour deux valeurs de x d'abord pour x est égal à zéro qu'on a déjà donné ici et pour x est égale à deux tiers car 3 x - 2 est égal à zéro lorsque x est égale à deux tiers et deux tiers se situe entre 0 et 1 donc voilà pourquoi je les place est ici très bien donc on va avoir la dérive et donc la dérivée seconde qui va être négative avant 0 est négative avant deux tiers donc ici on va avoir moins fois - qui va faire qui va faire plus donc on va avoir une dérivée seconde positive ici puis on va avoir 12 x entre zéro et deux tiers qui va être positif et 3 x - 2 qui va être négatif donc on va avoir une dérivée seconde négative et après deux tiers on va avoir 12x et 3x moins deux qui vont être tous les lettres positif donc on est positive partout après deux tiers pour ce qui est de la dérivée seconde ça y est on a maintenant tout ce qu'il nous faut pour étudier la fonction f donc qui va se comporter de manière différente sur quatre faces différentes jusqu'à 0 puis entre zéro et deux tiers puis entre 2-1 puis après un et on va voir comment il se comporte dans chacun de ces intervalles alors devant l'infini jusqu'à 0 la fonction effet décroissante et elle est de moins en moins décroissante et de moins en moins d'être à 100 parce qu'elle a dérivé seconde est positif donc on a une forme qui va ressembler ça une forme convexe qui valent jusqu'à un point d'inflexion stationnaire parce que la dérive est première et seconde sont toutes les deux égal à zéro et en ce point d'inflexion stationnaire et ben la fonction atteint la valeur f20 est égal à 0 - 0 + 2 est égale à deux très bien et après après x est égal à zéro entre 0 et deux tiers qu'est ce qui se passe on a une fonction qui est toujours décroissante la dérive et première est négative mais cette fois ci elle est de plus en plus décroissante donc elle va plutôt avoir une forme comme ça car la dérivée seconde est négative donc forme en cloche ensuite qu'est ce qui se passe ensuite on a la dérivée seconde qui entre deux tiers et 1 commence à devenir positive donc là on a un point d'inflexion on a un point d'inflexion et parce que la dérivée seconde est égal à zéro et ce point d'inflexion latin et alors il a quel coordonnées donc x est égale à deux tiers et f-22 tiers est égale à 38 27e je te passe le calcul ce n'est pas ce qu'il ya de plus intéressant à faire dans le contexte de cette vidéo très bien donc une fois qu'on a atteint ce point là ensuite donc on continue de décroître mais cette fois de manière complexe jusqu'à à ce minimum qu'on va atteindre en ou la fonction va passer de décroissance à croissante donc ici on atteint un minimum en f2 1 est égal à 3 - 4 - 1 plus de ça fait un don qui si on atteint un minimum de coordonner 1 1 et ensuite la fonction va être croissantes et va être de plus en plus croissante car la dérivée seconde est positive donc on va avoir quelque chose qui ressemble à ça maintenant qu'on a étudié le sens de variations et la concavité de f1 partout qu'on a identifié le un point d'inflexion stationnaire un point d'inflexion et un mini le cal ça y est on a toute l'info pour décider notre notre fonction donc sachant qu'elle atteint la valeur 2 lorsque x est égal à zéro puis la valeur 38 27e lorsque x est égale à deux tiers et elle atteint la valeur 1 lorsque x est égal à 1 donc ces trois points ces trois points sont sur la courbe est alors qu'est ce qui se passe sur ces points là donc on a la fonction et je vais la représenter dans une autre couleur la fonction qui va être qui va avoir cette forme là donc là maintenant je vais me référer directement à mon à mon tableau j'ai fait le récapitulatif de comment se comporte la fonction f je vois qu'elle est décroissante et de moins de moins en moins décroissante jusqu'à 0 puis elle a atteint un point d'inflexion stationnaire puis elle est décroissante et de plus en plus décroissante jusqu'à deux tiers qu'elle continue d'être décroissante mais de moins en moins des rois sentent jusqu'à jusqu'à 1 et à 1 elle atteint un minimum local puis elle est partie pour croître jusqu'à l'infini et voilà la courbe représentative de f2 x qui est un polynôme du quatrième degré on est arrivé à faire une représentation graphique d'un polynôme du quatrième degré en étudiant la dérive est le signe de la dérive est première et seconde de cette fonction