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Déduire des dérivées d'une fonction ln l'allure de sa courbe représentative

Transcription de la vidéo

l'objectif de cette vidéo est d'étudier le sens de variations et la concavité de fgx est égal à l aine de x puissance 4 + 27 et donc pour cela je vais étudier le signe de f primé de 9 secondes et ça ça va me permettre de d'effectuer la représentation graphique de la fonction f sans utiliser de calculatrices graphiques ok donc f primes de x on va d'abord trouvé son expression pour étudier son signal primes de x est égal à donc ce qu'il y à la dérive et de ce qu'il ya à l'intérieur de la fonction hélène / ce qu'il ya à l'intérieur de la fonction hélène donc 4 x cube / x puissance 4 + 27 et c'est assez simple d'étudier le signe de cette fonction car expérience 4 + 27 et est positif pour tous les x réel et 4 x cube eh ben elle change de signe comme comme x cube elle change de signe 11-0 elle est négative 1,0 et positive après 0 donc on sait que la dérive et 2f et négative avant 0 et positive après 0 ce qui veut dire que la fonction f sera décroissante avons zéro est croissante après 0 maintenant il nous reste à étudier la concavité de f2 x et pour cela je vais trouver la dérivée seconde 2x et il semble que je vais devoir utiliser la formule du quotient ce qui va être un calcul assez compliqué donc je vais utiliser une autre page pour faire ce calcul voilà donc j'ai ouvert une nouvelle page j'ai rappelé l'expression de f primes de x et à partir de cette expression de la prime du xv est utilisé la formule du quotient pour trouver la dérivée seconde de f et la formule du quotient c'est lorsqu'on a une fonction us / v ou iv sont de fonction et bien la dérive et c'est une prime élevée - eu les primes / v car et j'ai tellement utilisé cette formule que je la connais par coeur donc on a eu prime v ça nous donne 12 x carré facteur de l'ex puissance 4 27 - 4 x cube que je multiplie par la dérive et de ce que je rends bas et la dérive et de ce que jean basset 4 x cube le tout divisé par six puissances 4 + 27 le tout au carré ces pratiques parce que ça c'est toujours positif quelle que soit x donc je vais m'intéresser au numérateur et pour trouver l'expression de primes prime de x de toute façon là c'est surtout le numérateur où je dois faire un peu de de développement puis de refactorisation alors qu'est ce que j'obtiens au numérateur j'obtiens 12 expulsion 6 + 27 x 12 x x carré - quatre offres à 4,16 et expulsion strophes l'expérience 3 à phoenix 106 et ça ça me donne quoi ça me donne donc je peux factoriser par 4 x carré en g14 x carrés à chaque terme que je peux factoriser donc 4x carré facteur de quoi de 3x puissance 4 3 x 4 12 x 4 aux expériences de fusion 6 oui c'est bon plus donc j'ai factoriser 1 4x carey il me reste 1 3 x 27 3 x 27 ça fait 80 1 - donc là j'ai factoriser 1 4x calmes car il me reste 1 4x puissance 4 super j'avance donc l'âge et 4x carré facteur de trois expériences 4 - 4 ex puissance 4 ça fait moins x puissance 4 - expérience 4 +81 donc la g1 une identité remarquable du type a carrément becquart et d'ailleurs je vais rire dans ce sens là c'est 81 - x puissance 4 et 81 - ex puissance 4 c'est égal à 9 - ex carré x 9 + x carré parce que on a une identité remarquable duty packard et moimbé carré est égal à à - beffroi a + b mais ben ça y est j'ai réussi à complètement factoriser une expression dont je vais pouvoir étudier le signe facilement et donc je vais retourner à les prendre avant pour écrire le résultat de deux f secondes 2 x et continuer mon analyse voilà j'ai mis un certain 30 ans a trouvé l'expression factoriser de f secondes 2 x qui va me permettre maintenant d'étudier son signe et donc la concavité de la fonction f ok donc le signe de f seconde 2x d'abord le dénominateur ici est toujours positif quelle que soit x x puissance 4 est toujours positif quelle que soit x pareil ici x carey +9 est toujours positif quelle que soit x 4 x carré est toujours positif quelle que soit x et c'est nul on 0 donc ça c'est positif mais attention je dois ajouter une information à mon tableau de sign on il ya neuf secondes 2 x qui s'annulent 1 0 et ensuite 9 - x carré alors ça s'annule où c'est lorsque x carré est égal à 9 donc x est égal à 3 ou moins 3 donc je dois rajouter ici - 3 et 3 dans mon tableau de signes où il se passe quelque chose d'intéressant ou la dérivée seconde s'annulent et alors qu'elle signe prend f secondes 2 x sur chacune de ces phases et ben je dois étudier le signe de neuf mois x car et un peu plus précisément 9 mois x carré ça ressemble à quoi c'est une parabole en cloche car on a on a 1 - x carré et cette parabole en cloche passe par ses passes par zéro lorsque x est égal à -3 et 3 donc on a on a neuf mois x carey qui est négatif avant -3 positif entre -3 et 3 est négatif après 3 et vu que tous les autres termes de mon produit pour la fonction f secondes sont positifs on a un terme positif ici un terme positif ici un terme positif en bas donc le signe de f secondes 2 x va complètement dépendre du cygne de neuf mois x carrés dont quatre secondes 2 x est négatif avant -3 positive entre -3 et 3 est négative après trois hockey et ça ça nous permet d'étudier la fonction f sur quatre faces différentes première phase la fonction f et décroissante car sa dérive est est négative et elle est de plus en plus décroissante car sa dérivée seconde est négative aussi donc on va avoir une fonction qui ressemble à ça au début et ensuite qui va atteindre un point d'inflexion donc qui va pied donc au lieu d'être de plus en plus décroissante elle va commencer à être de moins en moins décroissante de moins en moins décroissante et ensuite donc elle va elle va avoir une forme de u est ici à gauche et ici à droite également et ce qui va se passer entre les deux c'est qu'elle va atteindre un minimum local est en fait elle va avoir une forme très aplati à ce niveau là car la dérive est première et seconde sont toutes les deux négative et là on est dans un cas assez particulier qu'on n'a pas étudié jusqu ici ou là dérivée seconde touche 0 mais ne change pas de signes et dans ce cas là ça veut dire qu'on n'atteint pas un point d'inflexion un point d'inflexion c'est quand le signe de la dérivée seconde change là ils ne changent pas donc on atteint un point stationnaire assez particulière un point stationnaire très aplatit voilà ce qu'on peut dire là dessus donc après ce point stationnaire on va avoir une fonction qui est croissante et qui est de plus en plus croissante qui est de plus en plus croissante comme ça puis elle va atteindre un point d'inflexion où elle va être elle va passer de plus en plus croissante a toujours croissante mais de moins en moins de croissance et voilà ce à quoi elle va ressembler à la fin donc voilà toutes les étapes de la fonction f décroissante et de plus en plus décroissante point d'inflexion en moins trois décroissante mais de moins en moins décroissante puis point stationnaire très aplatit on a un minimum local ici puis croissante est de plus en plus croissante puis point d'inflexion puis croissante mais de moins en moins croissante donc voilà tout le parcours de la fonction m on a une sorte de forme en vase ici et les valeurs cattin la fonction f en ce point d'inflexion ce point stationnaire et cet autre point d'inflexion donc on a et laine de -3 à puissance 4 + 27 qui est la même chose que hélène de troie puissance 4 +27 équivalent tous les deux donc elle n 2 81 +27 c'est à dire elle n 208 donc on a l aime 208 ici et elle n 208 ici et lorsque x est égal à zéro on aef qui est égal à l aine de 27 ok donc on a tout ce qu'il nous faut maintenant pour tracer notre courbe représentatif de f on sait qu'il se passe quelque chose de particulier en moins trois ayant 3 que la fonction va atteindre l aine de 108 ans -3 et en 3 ici on à l aine de 108 et elle va atteindre l aine de 27 lorsque x est égal à zéro ellen de 27 je fais ça très approximativement et je vais décrire un peu en dessous pour ne pas gêner le dessin très bien donc là j'ai mes trois points particuliers et donc je résume ce qui se passe pour la fonction est fait en même temps je vais la dessiner elle commence donc elle tend vers avère plus infinie à gauche et elle est décroissante et de plus en plus décroissante jusqu'à atteindre ce point d'inflexion où elle va toujours être décroissante mais de moins en moins décroissante puis elle atteint ce minimum local où on a un point stationnaire très aplatit puis on va avoir une croissance de donc une fonction croissante est de plus en plus croissante jusqu'à ce point d'inflexion et après ce point d'inflexion donc on change de concavité on reste croissant mais la fonction devient de moins en moins croissante et voilà à quoi ressemble la courbe représentatives de la fonction elle n 2 x puissance 4 + 27 et je t'encourage à vérifier cela avec une calculatrice graphique pour voir qu effectivement cette analyse du sens de variations et de la concavité de f en passant par cette dérive et sa dérivée seconde nous permet effectivement de visualiser l'aspect de la courbe représentatif de f2 x