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Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 2)

Transcription de la vidéo

on te donne une fonction f et l'objectif est de trouver les coordonnées des points où elle atteint 1 extrêmement locales aient fait un polynôme donc sa dérive est aussi un polynôme est fait donc défini par tous sur est réel et des rivales partout sur air ce qui nous facilite un peu les choses donc ce qu'il nous suffit de faire maintenant c'est de trouver la dérive et 2f et d'étudier le signe de la dérive et pour identifier les maximum et les minimums de la fonction alors allons-y f primes de x est égale à douze ex puissance 3 - 12 x carré - 24 x + 0 la dérive et 2,5 c zéro alors maintenant pour étudier le signe de f prime est là il faut que je factories autant que je peux donc déjà je vais factoriser par 12 x ça me donne 12 x factor 2x qui a ré - x 1 - 2 ce que je peux encore factoriser davantage ici on identifie que moins de plus un ça fait moins un an et est moins deux fois 1 ça fait moins deux donc j'ai trouvé les facteurs 12 x factor 2x moins de x x + 1 donc j'ai trouvé les héros de ma fonction lorsque x égal zéro x est égal à 2 ou x est égal à -1 la dérive est atteint 1 0 donc c'est là où la fonction f va atteindre peut-être un un extrait même local donc allons-y dressons un tableau de signes pour la fonction f primes ce qui va nous permettre de déduire le sens de variation de la fonction f et donc les extraits mêmes locaux alors je sais qu'il va se passer quelque chose de particulier lorsque x est égal à -1 lorsque illégal 0 et lorsque x est égal à 2 je sais que la dérive et va atteindre 0 en ces points là mais je vais étudier chaque facteur de cette fonction des arrivées séparément donc d'abord 12x non d'abord je vais commencer par x + 1 parce que je sais que elle atteint 1 0 en moins un et je vais aller dans l'ordre ex +1 12 x x - 2 et finalement ça va me permettre de déduire le signe de f primes de x et donc le sens de variation de fgx alors allons-y ça ce sont mes lignes je les traces rapidement histoire de compléter la structure de mon tableau de signes je trace aussi les colonnes je sais qu'il se passe quelque chose de particulier sur chacune de ses valeurs et ce qui se passe c'est que la fonction f primes de x prend la valeur 0 en moins 1 0 et 2 alors commençons par la fonction ex +1 elle prend la valeur 0 en moins en 12x prend la valeur 0 1 0 et x - de la valeur zéro en x et des galas 2 et donc chacune de ces fonctions vu qu'elles ont toutes un coefficient directeur de 1 enfin ici un i xi xii est ici un mais un coefficient directeur positif à chaque fois elles vont d'abord être négative puis positive après le zéro donc ici ses fonctions vont être négative avant 0 puis devenir positive après 0 et là on peut déduire le signe de l primes de x parce que la frime 2 x et bats x + 1 x 12 x x x - 2 donc on sait que entre moins l'infini et moins un an ont fait un nombre négatif pour un nombre négatif pour un nombre négatif donc f prime prend une valeur négative ensuite c'est plus fois - fois moins donc ça devient plus ensuite plus fois plus fois moins ça fait moins et ensuite plus fois plus soit plus ça fait plus donc voilà le signe que prend la fonction f primes de x sur différents intervalles et donc ça ça me donne une information sur le sur le sens de variation de f d'abord f va être décroissante sur ces intervalles puis croissante puis décroissante puis croissante jusqu'à l'infini donc on ne peut observer trois extrêmement bloco un premier extrait mom locales ici qui est un minimum en x est égal à -20 ans parce qu'on va d'une d'intervalle wef est décroissante vers un intervalle ou a fait croissante et donc on doit passer par par le minimum en ce point là exactement où f prime est égal à zéro puis on atteint un maximum local pour les mêmes arguments des arguments similaires puis un minimum local donc on a deux minimum locaux et un maximum locales et quels sont les coordonnées donc d'abord on a un premier minimum local de coordonner -1 et f 2 - 1 l de moins un est égal à 3 +47 -12 ça fait moins 5 + 5 0 donc voilà le premier minimum qu'on va atteindre puis on va atteindre un maximum en f2 0 en fin en 0 et est ce maximum la ce maximum local correspond à 5/4 f20 est égal à 5 puis on atteint encore un minimum un x est égal à 2 ou la valeur que prend la fonction est alors trois fois donc là on va le faire à la calculatrice et je vais nous économiser du temps un tous les deux f 2 2 est égal à -27 je viens de le faire à la calculatrice chez moi donc voilà les coordonnées de nos trois extraits mêmes locaux sachant que celui-ci c'est un minimum celui ci c'est un maximum et celui ci c'est encore une fois un minimum local donc voilà on a réussi à répondre à cette question en utilisant un en dressant le tableau de signes pour étudier le signe de f primes de x qui nous a permis de déduire le sens de variation de f2 x surtout les surtout les intervalles qui nous intéresse et d'identifier ainsi les minimums et les maximums locaux