La formule de dérivation d'une fonction composée

Si $u$u et $v$v sont deux fonctions, par exemple telles que $u(x) = x^2$u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared et $v(x) = \sin(x)$v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, on sait calculer la dérivée de leur somme :

et de leur produit :

La dérivée de la composée $u$u suivie de $f$f est :

Attention : Pour les besoins de la cause et pour présenter cet artifice, on obligé d'utiliser la notation $d/dx$d, slash, d, x qui signifie "dérivée par rapport à x".

Au lieu d'écrire $(x^2)'=2x$left parenthesis, x, squared, right parenthesis, prime, equals, 2, x, on écrit :

Si la variable était $a$a, on écrirait :

L'artifice est de remplacer $x$x par une fonction. On obtient, par exemple :

$\dfrac{d}{d(\sin(x))}$start fraction, d, divided by, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, end fraction ne veut rien dire ! Mais si on le multiplie par $\dfrac{d(\sin(x))}{dx}$start fraction, d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, divided by, d, x, end fraction (qui signifie la dérivée de sin x par rapport à $x$x), alors on peut simplifier par $d(\sin(x))$d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis et on obtient :

A priori, mathématiquement cela ne tient pas debout, car "$dx$d, x" et "$d(\sin(x))$d, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis" ne sont ni des nombres, ni des expressions. Pour tenter une justification il faut faire appel à des notions qui dépassent largement le cadre de la question traitée ici. Donc il faut considérer cela comme un moyen mnémotechnique. L'intérêt est que cette écriture de $\dfrac{d}{dx} (\sin(x))^2$start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared permet de trouver la dérivée de $(\sin(x))^2$left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, squared par rapport à $x$x :

Les choses sont beaucoup plus claires si $f$f et $u$u sont des fonctions quelconques et non pas la fonction carrée et la fonction $\operatorname {sinus}$s, i, n, u, s. On obtient la formule qui se lit "la dérivée de $f(u(x))$f, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis par rapport à $x$x est égale au produit de la dérivée de $f$f par rapport à $u$u par la dérivée de $u$u par rapport à $x$x" :

On va utiliser cette formule pour calculer la dérivée de la fonction $|x|$vertical bar, x, vertical bar, que l'on peut considérer comme une fonction composée car pour tout $x$x réel, $|x|=\sqrt{x^2}$vertical bar, x, vertical bar, equals, square root of, x, squared, end square root. Par exemple, $|{-}5| = \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$vertical bar, minus, 5, vertical bar, equals, square root of, left parenthesis, minus, 5, right parenthesis, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5

La formule s'applique à la composée de plus de deux fonctions. Par exemple, soient $A$A, $B$B, $C$C et $D$D quatre fonctions, et soit $f$f la composée de ces quatre fonctions :

Ici encore la notation $\dfrac{d}{dx}$start fraction, d, divided by, d, x, end fraction est très utile. On démontre que :

$f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis s'écrit :

Soit $f$f la fonction définie par $f(x) = \sin(e^{x^2 + x})$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, e, start superscript, x, squared, plus, x, end superscript, right parenthesis.

$f$f est la composée des fonctions $C$C, $B$B et $A$A, avec :

Leurs dérivées sont ;

On applique la formule :