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Minimum ou maximum local

Pour vérifier que vous avez bien compris et mémorisé.

Comment déterminer les extremums locaux d'une fonction ?

f est une fonction définie sur un intervalle I et a, ∈, I. f admet un maximum local sur I en a signifie que f, left parenthesis, a, right parenthesis est la plus grande valeur de la fonction f sur I. On peut en déduire que f est croissante pour les valeurs de x inférieures à a et décroissante pour les valeurs de x supérieures à a.
f est une fonction définie sur un intervalle I et a, ∈, I. f admet un minimum local sur I en a signifie que f, left parenthesis, a, right parenthesis est la plus petite valeur de la fonction f sur I. On peut en déduire que f est décroissante sur un intervalle open bracket, a, minus, h, space, ;, a, close bracket et croissante sur un intervalle open bracket, a, space, ;, a, plus, h, close bracket avec h, is greater than, 0.
Après la leçon qui fait le point sur le sens de variation d'une fonction il s'agit ici de vous permettre de vérifier si vous avez bien compris comment déterminer les extremums locaux d'une fonction.

Exemple

Soit la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7. Pour trouver ses extremums locaux, on commence par calculer sa dérivée :
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
Les points à étudier sont minus, 3 et 1.
Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis pour connaître le signe de f, prime sur l'intervalle.
IntervalleValeur de xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusion
close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 3, open bracketx, equals, minus, 4f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f est croissante. \nearrow
close bracket, minus, 3, space, ;, 1, open bracketx, equals, 0f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0f est décroissante. \searrow
close bracket, 1, space, ;, plus, ∞, open bracketx, equals, 2f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f est croissante. \nearrow
On en déduit ce tableau :
xAvantAprèsConclusion
minus, 3\nearrow\searrowMaximum local
1\searrow\nearrowMinimum local
La fonction a un maximum en minus, 3 et un minimum en 1.

À vous !

Exercice 1
h est la fonction définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 3, x, squared, plus, 9
En quelle valeur de x, la fonction h admet-elle un maximum local ?
Choisissez une seule réponse :
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Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.