Courbe d'une fonction rationnelle dont les deux termes sont du second degré

dans cette vidéo on va voir ce comment on peut avoir l'intuition du graff d'une fonction qui est une fraction rationnelle et on va surtout parler de l'identification de ces asymptote alors on va prendre une fraction rationnelle qu'est ce que c'est qu'une fraction rationnelle c'est une fonction dont l'expression et se mettre sous la forme d'une fraction avec un polynôme au numérateur et un peu les nnomo dénominateur par exemple celle ci y est égal à x carrés sur x carré - 16 et donc je voudrais tracé le graphe de cette fonction là de la manière la plus précise possible est la première question que je vais me poser c'est qu'est ce qui va se passer qu'est ce qui va arriver aux valeurs de la fonction à y lorsque x devient très très grand positifs ou négatifs très grand positif ou négatif une manière de l'écrire c'est dire que la valeur absolue de x va tendre vers plus l'infini quand la valeur absolue d'un nombre tend vers plus infinie ça veut dire que ce nombre là lui même soit il tend vers plus l'infini soit il devient très très grand positif soit il tend vers moins l'infini c'est à dire qu'il devient très très grand négatif donc voyons ce qui se passe dans ce cas et on va peut-être essayé en mettant certains calculs en certaine image de nombres qui vont être très grand donc on va y aller petit à petit on va déjà blessé et de voir ce qui se passe quelle est l'image de x lorsque x égale 10 donc on va remplacer x par dix dans l'expression de cette fonction on va calculer son image et puis on va essayer petit à petit de remplacer x par des nombres de plus en plus grand donc on va taper ixe xe au carré c'est à dire 10 au carré sur x au carré - 16 c'est à dire 10 au carré - 16 et ça nous donne comme image 1,19 d'accord bon ça ça ne dit pas grand chose on va essayer un nombre encore plus grand va essayer sans donc tape on sent au carré sur 100 au carré - c'est servir à l'image de 100 par cette fonction est là l'image de sang je constate que c'est pratiquement un 1,00 quelque chose donc je commence à suspecter que plus les antécédents que je vais rentrer dans les fonctions vont être grand plus les images risquent de se rapprocher du nombre 1 pour essayer d'avoir un petit peu plus confirmation de ce fait tu essayé de remplacer x par mille donc l'image 2000 c'est milo carrés sur milo carré - 16 et la joie vraiment que ça se rapproche encore beaucoup plus de 1 et donc je me dis qu'on a l'impression que plus la valeur absolue de x va grandir dans les positifs ou dans les négatifs plus l'image de x va se rapprocher de 1 pourquoi je dis dans les négatifs parce que tu remarques que dans l'expression de la fonction tous les x sont au carré et quand on prend de nombreuses opposé qu'on les élèves au carré et bien et ça va donner exactement le même résultat ça ça nous dit que pour cette fonction de nombreux opposés vont avoir exactement la même image on dit que c'est une fonction père et son grave va être symétrique par rapport à l'axé des ordonnées donc tout ce qu'on a fait pour 10 c'est valable aussi pour moins 10 et pour cent et pour 1000 ça va être exactement la même chose pour moins 100 et pour moins 1000 donc lorsque excitant vers plus si j'ai l'impression que y sera proche de 1 à j'écris y sera proche de 1 lorsque il tend vers plus infinie pour x temps vers moi l'infini il va se passer y doit se passer exactement la même chose et comment ça va se traduire sur mon graphe le graphe de cette fonction lorsqu'il va devenir grand va se rapprocher de la ligne horizontale y égal on de cette ligne horizontale là que je trace y égal 1 et donc le graal de cette fonction va s'en approcher s'en approcher évidemment sans jamais réussir à le toucher puisque ça ça va continuer c'est un phénomène qui va continuer jusqu'à jusqu'à l'infini entre guillemets et cette ligne horizontale dans le graphe s'approche sans la toucher s'appelle une asymptote et comme elle est horizontale on va dire que c'est une asymptote horizontale une asymptote c'est une ligne dont le graphe de la fonction se rapproche sans le toucher elle peut être horizontale verticale elle peut même être diagonale ça c'est un peu plus compliqué mais bon là dans ce cas là et horizontale on va dire que c'est une asymptote horizontal et donc on s'attend à ce que avoir 7 à 70 horizontale du côté de plus l'infini et du côté de mon infinie maintenant on va voir ce qui se passe aux endroits où la fonction n'est pas défini première chose on remarque que le dénominateur ce factories x carré - 16 c x + 4 x x moins quatre dont je peut réécrire ma fonction sous la forme x carrés sur x + 4 x x -4 et et là ça me fait apparaître des endroits des valeurs de x pour lesquels la fonction n'est pas défini par exemple si je voulais calculez l'image de 4 c'est à dire en place et x par quatre j'obtiendrai xo caresser 16 mai le dénominateur il faut 0 j'obtiendrai 16 / 0 et j'ai pas le droit / 0 ça c'est un défi ni de la même manière si je remplace x par moins 4 j'obtiendrai un dénominateur nul donc c'est un défi nie donc je peux dire que la fonction est indéfini lorsque xv au 4 et lorsque xv au moins quatre donc je peux pas calculer son image lorsque xo 4 et lorsque xv au moins quatre faute de pouvoir calculer l'image de 4 et 2 - 4 je peux me demander ce qui se passe comment va se comporter la fonction lorsqu'il se rapproche de 4 ou 2 - 4 étudions par exemple le cas que se passe-t-il lorsque il se rapproche de -4 et je vais étudier pour commencer le cas où x se rapproche de -4 par valeur inférieure à dire tout en restant inférieures à - 4 par exemple - 4,1 - 4,01 - 4,001 et j'ai réessayé ça avec ma calculatrice en calculant des images de nombre très très proche de - 4 mais légèrement inférieur à moins 4 commençons par exemple par moins 4,1 donc l'image de moins 4,1 je tape moins 4,1 au carré / - 4,1 au carré - 16 en mettant toutes les parenthèses qu'il faut ça va marcher j'obtiens une image qui vaut environ 20,75 bon alors essayons maintenant de calculer l'image d'un monde qui est encore plus proche de - 4 par exemple moins 4,0 donc on va taper - 4,01 au carré voilà / - 4,01 au carré - saison en place tout simplement x par moins 4,0 on demande à la calculatrice l'image est l'image cette fois va être 200 donc l'image est devenue beaucoup beaucoup plus grande alors que je me suis rapproché de -4 ça je commence à suspecter que plus je me rapprochais de -4 plus l'image va grandir démesurément alors on va essayer de supposer sa ans en recommençant avec un nombre encore plus proche de - 4 - 4,001 par exemple donc re calculons avec - 4,001 et on obtient à on obtient carrément dans les 2000 et on peut supposer que si ça continue comme ça plus on se rapproche de -4 plus les images vont devenir absolument énorme et donc lorsque il se rapproche de -4 par valeur inférieures à - 4 je vais je vais avoir un lit les images les y qui vont se rapprocher de plus l'infini comment ça va se traduire ça sur le graphe de ma fonction c'est à dire que x égal moins quatre sites une droite horizontale là que je dessine ici en verre et je sais que voilà donc x égal moins quatre et je sais que plus je vais me rapprocher de -4 par valeur légale par valeur inférieure c'est à dire en restant à gauche de mon 4 plus l'image va tendre vers plus l'infini c'est à dire que mon graphe va partir de valeurs très très proche de 1 comme on l'avait dit pour se rapproche pour exploser vers plus l'infini en quelque sorte lorsque x va se rapprocher de mon cas donc il va avoir cette allure là et donc je m'aperçois que le graff va se rapprocher aussi sans la toucher de la droite verticale x égal moins 4 et donc ça nous donne une partie du graff et on n'a pas tous le graff on va la voir progressivement qui a cette allure là où il ya deux droites dont le graphe se rapproche une de chaque côté sans les toucher et évidemment comme on l'a dit précédemment que x carré c'était que cette fonction avait la même image pour deux antécédents opposé tout ce que j'ai dit pour -4 ça va être valable pour 4 mai c'est à dire que lorsque je regarde ce qui se passe lorsque il se rapproche de 4,7 fois par valeur supérieure à 4 on a étudié moins 4,1 - 4,01 il va se passer la même chose pour 4,1 pour 4,01 et cetera on va obtenir exactement les mêmes six matches donc on va savoir ce qui se passe pour x supérieure pour x se rapprochant de 4 par valeur supérieure à 4 et il va se passer exactement il va se passer exactement la même chose on va obtenir exactement les même si mal puisque dès que je vais élever mon x au carré je vais perdre l'information du cygne l'information du cygne ne va plus avoir un poste d'importance parce que de nombreux opposés ont exactement le même carré dont je vais trouver exactement comme image ainsi je sais 4,01 4,001 etc les mêmes images que j'avais trouvé avant et mon grave à avoir une allure symétrique à ce que j'avais à j'essaye de le dessiner de plus en plus il met le plus symétrique possible va avoir une allure symétrique à ce que j'avais et donc pour les valeurs supérieures à 4 je vais avoir cette allure de graphe ci et voyager c2c de droite verticale dont le graphe de la fonction va s'approcher sans les toucher et c'est de droite verticale on va évidemment les appeler des asymptote verticale ce sont des asymptote qui cette fois sont verticales on a déjà pas mal d'informations sur le graphe de notre fonction maintenant on aimerait bien savoir ce qui se passe comment se comporte la fonction entre ces deux à 70 parce qu'entre ces deux asymptote on a toutes les valeurs entre -4 et corte pour laquelle les formes pour lesquels la fonction est parfaitement définis donc on devrait avoir une partie du graff qui se trouve entre les deux un symptôme verticale et bien regardons ce qui se passe ce qui arrive aux graves de la fonction lorsque il se rapproche de -4 mais cette fois par valeur supérieure c'est-à-dire 3,9 non pardon je vais commencer par x se rapproche de 4 par valeur inférieure puis ensuite on obtiendra le résultat par symétrie donc je tape 3,9 au carré sur 3,9 au carré - 16 et je trouve que l'image de 3,9 c'est moins 19,4 chose maintenant essayons avec 3,99 essayons nous rapprocher encore plus de 4 tout en restant dans les valeurs inférieures à 4 quel va être l'image de 3,99 ce soit 3,99 au carré sur 3 99 au carré - 16 qu'est ce que ça va me donner comme image juste le temps de le taper et ça va me donner - 199,25 et je commence à suspecter que plusieurs a plongé de 4 plus je vais arriver dans les valeurs très très grande négative donc pour en avoir confirmation essayons encore 3999 et on trouve que son image c'est presque - 2001 - 1980 19,25 on se doute on se doute c'est pas une preuve formelle on se doute qu'on en voyant ces valeurs là que plus on va se rapprocher de 4 par valeur inférieure plus les images vont se rapprocher devons devenir très très grande négative et comment ça va se traduire sur notre graphe de fonction on va essayer de bien le défi de bien le dessiner le graphe de la fonction va se rapprocher de la symptômes x égale cac mais cette fois en restant en plongeant vers les valeurs très très grande négatif c'est-à-dire en allant vers le bas et voilà donc à quoi notre grave de fonctions va ressembler et si jamais il se rapproche de -4 par valeur supérieure à moins 4 c'est à dire en restant dans les 3 - 3 points 99 et c est bien par symétrie parce que de nombreux opposé par cette fonction la même image je obtenir un graphe symétrique donc je vais obtenir je vais obtenir ceci voilà on a presque on a presque tout de la lure général du grave de cette fonction enfin on a déjà une bonne idée de à coire devrait logiquement reprendre les graves de cette fonction on va essayer de calculer une image de poing qui se trouve loin des asymptote pour savoir comment les deux parties de graff l'anecdote déconnecté se connecte à l'image de 0 par exemple donc l'image de 0 c zéro sur 0/4 et -16 donc c'est ça fait zéro et donc le graphe passe par le point 0-0 et je peux m'attendre je peux raisonnablement m'attendre moi y'a rien de sûr dans tout ça faudrait faire une étude rigoureuse avec des dérivés avec l'essence de variation mais on peut s'attendre plus ou moins à ce que s'il n'y a pas de problème entre les deux ça ressemble à ce à quoi les deux parties de grave se connectent comme ceux ci est ainsi on aurait notre graphe complet de fonctions si on voulait encore être un petit peu plus sûr on pourrait essayer de calculer l'image d'autres valeurs qui se trouve éloigné de 4 et de -4 pour essayer de voir quelle image on obtient et essayer d'avoir une idée encore plus précise de ce à quoi ressemble le graphe de la fonction maintenant on va revenir sur ces symptômes pourquoi est-ce que pourquoi est ce que je pouvais m'attendre à ce que le les valeurs de la fonction deviennent très très grande soit positive soit négative lorsque x se rapproche de 4 ou 2 - 4 pourquoi est-ce que je pourquoi est-ce que c'est logique que les valeurs tout à coup se mettent à devenir extrêmement grande parce que regardons l'expression de la fonction lorsque x égale 4 par exemple lorsque x égale 4 qu'est ce qui va arriver au x - 4 lorsque x se rapproche par dont 2/4 le xe - 4 va se rapprocher de zéro va devenir tout petit tout petit va se rapprocher de zéro et donc tous nos traits dénominateur le x + cats lui va se rapprocher de 8 donc tout notre dénominateur va devenir très très proche de zéro alors que le numérateur lui va se rapprocher de 4 au carré c'est à dire 16 donc le numérateur le reste est de taille raisonnable est le dénominateur va se rapprocher de zéro donc si jeune si je substitue à la place de x un nombre très très proche de 4 je vais avoir un numéro acteur qui va être de taille raisonnable je vais me retrouver à diviser un nom de taille raisonnable par un nombre minuscule très très proche de zéro et je sais que lorsque je divise un nombre de taille raisonnable par un nombre très très proche de zéro eh bien ça me donne une image extrêmement grande et c'est pour ça que l'image va devenir de plus en plus grande au fur et à mesure que je divise par des nombres de plus en plus proche de zéro ça c'est une propriété de la division qu'on connaît et donc en se basant là dessus on trouve pas très étonnant que les valeurs se rapproche de l'infini lorsque x se rapproche de 4 ou 2 - 4 on pourrait faire exactement le même raisonnement pour -4 maintenant l'explication de la symptômes horizontale pourquoi est ce que les valeurs de la fonction se rapproche de 1 au fur et à mesure que je substitut des antécédents très très grand parce que le raisonnement c'est de se dire si x devient très très grand si x tend vers l'infini alors x o car est aussi va devenir absolument gigantesque et six au carré devient absolument gigantesque bain le fait de lui retirer 16 ça ne changera pas beaucoup donc en fait le moins 16 qui est au dénominateur pour les x très très grand il va pas beaucoup compter et donc moins y pour x devient très très grand il est pour x devenant très très grand il est pratiquement égal il est équivalent à ixxo carrés sur x au carré puisque le moins 16 on ne peut pratiquement le négliger c'est à dire qu'il est équivalent à 1 dire qu'il va être extrêmement proche de 1 et voilà parce que je divise de nombres qui vont être proportionnellement à leur taille très très proches l'un de l'autre et ça ça se produit parce que le numérateur et le dénominateur sont deux polynôme de même degré j'ai dû x carrés sur x carré parce que en fait ce qui va déterminer le comportement de la fonction ce sont les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur hélas comme j'ai un x carrés au numérateur et 1x carré ou plus en quelque sorte des poussières au dénominateur la fonction va se comporter au voisinage de l'infini comme si j'avais un x carrés sur un x car et c'est à dire 1 sur 1 qui vaut 1 est donc là le graphe de la fonction va se rapprocher de 1,2 y y et galinski va me donner bien c'est un symptôme la horizontale 1 c'est comme ça que ce sera dur en termes de graphe ci par exemple sur le numérateur j'avais deux si j'avais 2 x carrés sur x carré - 16 et bien eh bien là le ca aurait est équivalent à 2 x carrés sur x carré et en simplifiant les xk restera est équivalent à deux et je me serais retrouvé avec une asymptote en y égal 2 donc une asymptote qui se serait trouvé un petit peu plus haute que la symptômes que j'ai obtenus ici si j'avais essayé si j'avais eu moins 2 x carrés au numérateur je me serais retrouvé avec une simple autorisons talent - 2 que qui serait qui aurait été en dessous de l'axé des abscisses voilà si si le numérateur et le dénominateur n'avait pas eu le même degré alors si le numérateur et le dénominateur n'avait pas eu le même degré alors qu'est ce qui se serait passé il se serait passé que que là on aurait pu voir des choses différentes supposons que le degré du numérateur soit plus petit que le degré du dénominateur alors quand je t'ai garde les termes de même degré j'aime me retrouver avec un dénominateur qui croît beaucoup plus vite que le numérateur et donc avec une fonction qui va tendre vers zéro donc dans ce cas là lorsque le numérateur lorsque le dénominateur et de plus haut degré que le numérateur je me retrouvais avec une asymptote y égal zéro désert avec l' axe des abscisses comme asymptote et si jamais le numérateur et avait été un degré plus grand que le dénominateur à ce moment là je vais après simplification je me retrouverai avec un x au numérateur qui ferait tendre les valeurs de la fonction vers l'infini lorsque x tend vers l'infini et dans ce cas là je n'aurai pas de symptômes la fonction se mettrait quand même à tendre vers l'infini lorsque x se rapproche de l'infini on pourrait dire qu'elle lui tend un peu moins vite que s'ils avaient pas le dénominateur mais le dénominateur ne suffirait pas le degré du dénominateur dans ce cas là ne suffirait pas à créer une à 70 donc pour savoir si on a une asymptote horizontal il faut faire l'étude comparative des deux gré du numérateur et du dénominateur et pour les asymptote verticale pour les à 70 verticale ben j'ai eu l'air de dire que c'était là où la fonction n'est pas défini ça n'est pas forcément toujours le cas on va pas sauter aux conclusions aussi facilement c'est lui pour avoir une asymptote verticale il faut que la fonction soit pas défini mais on n'a pas toujours une asymptote verticale là où la fonction n'est pas défini il ya par exemple si au lieu de considérer la fonction là je rajoute un mix moins quatre hauts je rajoute un x - 4 au numérateur ainsi je considérais la fonction x carré x x - 4 sur x + 4 x x - 4 c'est une fonction un petit peu différente mais là je me retrouverais dans le cas où je re pourrait simplifier la fraction simplifier les 2 6 - 4 est donc partout où x n'est pas égal à 4 la fonction continue de ne pas être défini en quatre et en moins 4 mais partout où x n'est pas égal à 4 là les valeurs de la fonction serait égal à x carrés sur x + 4 et x car est sûre explique cas c'est une fonction qui elle est définie en 4 1 qui a une valeur pour x égal pour x égale 4 est donc là on se serait retrouvé avec les valeurs de cette fonction se rapprochant de des valeurs de la fonction x carrés sur x + 4 et ça ça nous aurait pas fait une asymptote en x égale 4 ça nous aurait fait en quelque sorte une ligne continue avec un petit trou ax égale 4 où il aurait manqué un point donc on peut dire manière pas très rigoureuse mais qui nous donne une bonne idée de ce qui se passe on peut dire qu'on va avoir une asymptote verticale en x égale 4 si on ne réussit pas à simplifier les x -4 qu'on a au dénominateur on va avoir une asymptote verticale en x égal moins quatre si on ne réussit pas à simplifier les x + 4 qu'on a au dénominateur avec ce qu'on a au numérateur donc les asymptote vont plus ou moins nous être donnée par ce qui ne simplifie pas au dénominateur est donc là on a une idée générale de comment on trouve les asymptote verticale et les symptômes tories zontal maintenant si on veut vraiment avoir confirmation on peut demander à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique ou à l'aide d'une calculatrice graphique de tracer le graphe de cette fonction pour voir ce qui se passe