Tangente à une courbe et nombre dérivé

Le premier objet de cette leçon est de relier le taux de variation d'une fonction sur un intervalle $[a~;b]$open bracket, a, space, ;, b, close bracket et le coefficient directeur de la sécante à sa courbe représentative aux points d'abscisses $a$a et $b$b. Son deuxième objet est le relier le nombre dérivé de la fonction en $c$c et le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse $c$c.

Soient deux points distincts $P(x_0~; y_0)$P, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, space, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis et $Q(x_1~; y_1)$Q, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, space, ;, y, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis de la courbe représentative de la fonction $f$f, la droite passant par ces deux points est appelée sécante à la courbe de $f$f en $P$P et $Q$Q. Le coefficient directeur de cette sécante vaut :

$\displaystyle m_{\sec} = \dfrac{y_1 - y_0} {x_1 - x_0} = \dfrac{f(x_1) - f(x_0)} {x_1 - x_0}\,$m, start subscript, \sec, end subscript, equals, start fraction, y, start subscript, 1, end subscript, minus, y, start subscript, 0, end subscript, divided by, x, start subscript, 1, end subscript, minus, x, start subscript, 0, end subscript, end fraction, equals, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, x, start subscript, 1, end subscript, minus, x, start subscript, 0, end subscript, end fraction.

Quand l'abcisse $x_1$x, start subscript, 1, end subscript est proche de $x_0$x, start subscript, 0, end subscript, le point $Q$Q sera proche du point $P$P. Le coefficient directeur des sécantes $(PQ)$left parenthesis, P, Q, right parenthesis va tendre vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe en $P$P. La tangente est la position limite de ces sécantes. Son coefficient directeur est égal à la limite quand $x_1$x, start subscript, 1, end subscript tend vers $x_0$x, start subscript, 0, end subscript du coefficient directeur des sécantes :

$\displaystyle m_{\tan} =\lim_{x_1 \to x_0} \dfrac{f(x_1) - f(x_0)} {x_1 - x_0}\,$m, start subscript, tangent, end subscript, equals, limit, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, \to, x, start subscript, 0, end subscript, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, x, start subscript, 1, end subscript, minus, x, start subscript, 0, end subscript, end fraction.

Si on pose $h = x_1 - x_0$h, equals, x, start subscript, 1, end subscript, minus, x, start subscript, 0, end subscript, alors $x_1 = x_0 + h$x, start subscript, 1, end subscript, equals, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h et $h \rightarrow 0$h, right arrow, 0 quand $x_1 \rightarrow x_0$x, start subscript, 1, end subscript, right arrow, x, start subscript, 0, end subscript. Le coefficient directeur de la tangente s'écrit alors :

$\displaystyle m_{\tan} =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)} {h}$m, start subscript, tangent, end subscript, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, h, end fraction.

Si la limite existe, sa valeur $m_ {\tan}$m, start subscript, tangent, end subscript est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$f au point $P(x_0~; y_0)$P, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, space, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$f définie par $f(x) = x^3$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed au point de coordonnées $(2~; 8)$left parenthesis, 2, space, ;, 8, right parenthesis ?

On remplace $(x_0~; y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, space, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis par $(2~; 8)$left parenthesis, 2, space, ;, 8, right parenthesis dans la formule du coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point :

on obtient :

Donc, le coefficient directeur de la tangente est $12$12. Une équation de la droite de coefficient directeur $m_{tan}$m, start subscript, t, a, n, end subscript qui passe par le point de coordonnées $(x_0 ; y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis est :

$\displaystyle y - y_0 = m_{\tan}\times(x - x_0)$y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, equals, m, start subscript, tangent, end subscript, times, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse $2$2 est :

qui s'écrit encore :

$\displaystyle y = 12x - 16$y, equals, 12, x, minus, 16.

Maintenant, nous allons définir le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque de la courbe représentative d'une fonction $f$f. Pour cela, on remplace la constante $x_0$x, start subscript, 0, end subscript par la variable $x$x dans la formule précédente :

$\displaystyle m_{\tan} =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)} {h}\,$m, start subscript, tangent, end subscript, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, end fraction.

Par définition, cette limite est le nombre dérivé de $f$f en $x$x, noté $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis :

$\displaystyle f\,'(x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)} {h}\,$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, end fraction,

où $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis se lit "$f$f prime de $x$x".

Si $f(x) = x^2 - 3$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 3, déterminer $f\,'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. Utiliser ce résultat pour calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x = 2$x, equals, 2 et au point d'abscisse $x = -1$x, equals, minus, 1.

Par définition,

$\displaystyle f\,'(x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)} {h}$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, end fraction,

alors

Pour calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe en $x = 2$x, equals, 2 on remplace $x$x par $2$2 dans l'expression de $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. On fait de même pour $x = -1$x, equals, minus, 1. On obtient :

et

$\displaystyle f\,'(-1) = 2×(-1) = -2$f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, ×, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 2.

Les coefficients directeurs des tangentes à la courbe au point d'abscisse $2$2 et au point d'abscisse $-1$minus, 1 sont respectivement $4$4 et $-2$minus, 2.

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation $y = 1/x$y, equals, 1, slash, x au point de coordonnées $(1~; 1)~?$left parenthesis, 1, space, ;, 1, right parenthesis, space, question mark

On utilise la formule :

On remplace $f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis par $1/x$1, slash, x

En remplaçant $x$x par $1$1 :

$f'(1)= \dfrac{-1} {(1)^2}= -1$f, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, start fraction, minus, 1, divided by, left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, end fraction, equals, minus, 1.

Donc, le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation $y = 1/x$y, equals, 1, slash, x au point d’abscisse $1$1 est $m=-1$m, equals, minus, 1. Une équation de la droite de coefficient directeur $m$m qui passe par le point de coordonnées $(x_0 ~; ~y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, space, ;, space, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis est :

$\displaystyle y - y_0 = m\times(x - x_0)$y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, equals, m, times, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis,

ici $(x_{0}~; y_{0}) = (1~; 1)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, space, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, space, ;, 1, right parenthesis. Une équation de la tangente au point d'abscisse $1$1 est :

La vitesse moyenne est égale au taux de variation de la fonction qui à la durée fait correspondre la distance parcourue. Si une voiture parcourt $120$120 kilomètres en $4$4 heures, sa vitesse moyenne est :

$\dfrac{120\text{ km}}{4\text{ heures}} = 30 \text{ km/h}$start fraction, 120, start text, space, k, m, end text, divided by, 4, start text, space, h, e, u, r, e, s, end text, end fraction, equals, 30, start text, space, k, m, slash, h, end text.

Cette vitesse est sa vitesse moyenne. Mais si la vitesse moyenne de la voiture au cours des $4$4 heures du trajet a été de $30\text{ km/h}$30, start text, space, k, m, slash, h, end text, cela ne signifie pas qu'elle a roulé à la vitesse constante de $30\text{ km/h}$30, start text, space, k, m, slash, h, end text.

Si par malheur la voiture est entrée en collision avec une autre voiture au cours du trajet l'ampleur des dégâts n'est pas fonction de la vitesse moyenne de la voiture ; elle est fonction de sa vitesse à l'instant de la collision. Il y a deux types de vitesse, la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.

La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours :

Si on considère la courbe représentative de la $\blue{\text{ fonction qui à la durée fait correspondre la distance parcourue}}$start color #6495ed, start text, space, f, o, n, c, t, i, o, n, space, q, u, i, space, a, with, \`, on top, space, l, a, space, d, u, r, e, with, \', on top, e, space, f, a, i, t, space, c, o, r, r, e, s, p, o, n, d, r, e, space, l, a, space, d, i, s, t, a, n, c, e, space, p, a, r, c, o, u, r, u, e, end text, end color #6495ed, la vitesse moyenne est aussi le coefficient directeur de la $\purple{\text{sécante}}$start color #9d38bd, start text, s, e, with, \', on top, c, a, n, t, e, end text, end color #9d38bd à cette courbe qui passe par les points de coordonnées $\pink{(t_0, x_0)}$start color #ff00af, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #ff00af et $\pink{(t_1, x_1)}$start color #ff00af, left parenthesis, t, start subscript, 1, end subscript, comma, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, end color #ff00af :

La vitesse moyenne entre les instants $t_0$t, start subscript, 0, end subscript et $t_1$t, start subscript, 1, end subscript est donc le coefficient directeur de la sécante qui passe par les points de coordonnées $(t_0, x_0)$left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis et $(t_1, x_1)$left parenthesis, t, start subscript, 1, end subscript, comma, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis. Si $t_1$t, start subscript, 1, end subscript est très proche de $t_0$t, start subscript, 0, end subscript, alors la vitesse moyenne est très proche de la vitesse instantanée en $t_0$t, start subscript, 0, end subscript.

Le taux de variation d'une fonction $f$f sur un intervalle est le coefficient directeur de la droite qui joint les points dont les abscisses sont les extrémités de cet intervalle. Le taux de variation instantané, c'est-à-dire le nombre dérivé, de $f$f en une valeur donnée $a$a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$f au point d'abscisse $a$a.

Le taux de variation de $f$f sur l'intervalle $[x_0, x_1]$open bracket, x, start subscript, 0, end subscript, comma, x, start subscript, 1, end subscript, close bracket est :

On a représenté ci-dessous la $\purple{\text{sécante}}$start color #9d38bd, start text, s, e, with, \', on top, c, a, n, t, e, end text, end color #9d38bd à la $\blue{\text{courbe représentative de} \,f}$start color #6495ed, start text, c, o, u, r, b, e, space, r, e, p, r, e, with, \', on top, s, e, n, t, a, t, i, v, e, space, d, e, end text, f, end color #6495ed qui passe par les points de coordonnées $\pink{(x_0, f(x_0))}$start color #ff00af, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, end color #ff00af et $\pink{(x_1, f(x_1))}$start color #ff00af, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, end color #ff00af. Le coefficient directeur de cette sécante est le taux de variation $m_{\sec}$m, start subscript, \sec, end subscript.

Le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, de $f$f en $x_0$x, start subscript, 0, end subscript est :

On a représenté ci-dessous la $\purple{\text{tangente}}$start color #9d38bd, start text, t, a, n, g, e, n, t, e, end text, end color #9d38bd à la $\blue{\text{courbe représentative de} \,f}$start color #6495ed, start text, c, o, u, r, b, e, space, r, e, p, r, e, with, \', on top, s, e, n, t, a, t, i, v, e, space, d, e, end text, f, end color #6495ed au point de coordonnées $\pink{(x_0, f(x_0))}$start color #ff00af, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, end color #ff00af. Le coefficient directeur de cette tangente est le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, $m_{\tan}$m, start subscript, tangent, end subscript.

Soit la fonction définie par $f(x) = x^2 - 3$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 3.

(a) Calculer le taux de variation de $f$f sur l'intervalle $[0~; 2]$open bracket, 0, space, ;, 2, close bracket.

(b) Calculer le taux de variation instantané de $f$f en $x=-1$x, equals, minus, 1.

(a) On applique la formule du taux de variation avec $f(x) = x^2 - 3$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 3, $x_0 = 0$x, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 et $x_1 = 2$x, start subscript, 1, end subscript, equals, 2 :

Le taux de variation de $f$f sur l'intervalle $[0, 2]$open bracket, 0, comma, 2, close bracket est égal à $2$2.

(b) Dans l'exemple 2, on a montré que $f\,'(x) = 2x$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, donc

Le taux de variation instantané est négatif. La fonction est décroissante en $x = -1$x, equals, minus, 1.