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5e année secondaire - 6h

Cours : 5e année secondaire - 6h > Chapitre 2 

Leçon 1: Opérations sur les fonctions
Mathématiques
5e année secondaire - 6h
Analyse
Opérations sur les fonctions
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Les quatre opérations et les fonctions

Google Classroom
Se familiariser avec l’idée que l'on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser deux fonctions pour en définir une nouvelle.
De même que l'on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres, on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les fonctions.

La somme de deux fonctions

1. Définir la fonction somme de deux fonctions

Si f est la fonction telle que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 et g la fonction telle que g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, par définition la fonction somme f, plus, g est la fonction telle que left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
On appelle h cette fonction somme :
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 1

2. Calculer l'image d'un nombre par une fonction somme

On peut bien sûr calculer la valeur d'une fonction somme pour une valeur particulière de la variable. Par exemple on peut chercher l'image de 2 par la fonction h. Il y a deux façons de procéder.
Méthode 1 : On remplace x par 2 dans l'expression de la fonction h.
h(x)=3x+1h(2)=3×2+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3×2+1=\greenD{7} \end{aligned}
Méthode 2 : On peut aussi calculer f, left parenthesis, 2, right parenthesis et g, left parenthesis, 2, right parenthesis et additionner les résultats.
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, donc h, left parenthesis, 2, right parenthesis est égal à f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis.
On calcule f, left parenthesis, 2, right parenthesis :
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1=3\end{aligned}
On calcule g, left parenthesis, 2, right parenthesis :
g(x)=2xg(2)=2×2=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\times 2 =4\end{aligned}
Donc f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, plus, 4, equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54.
Les deux méthodes conduisent au même résultat !

A vous !

Dans les deux exercices suivants, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 3.

Exercice 1

L'expression de left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis est :
 

Exercice 2

left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, c'est-à-dire l'image de minus, 1 par la fonction f, plus, g est :
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Qu'en est-il des courbes représentatives des fonctions ?

Ci-dessous les droites représentatives des fonctions affines m etn.
On lit sur les graphiques que m, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 2 et n, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 5.
Voici la droite représentative de la fonction somme p, equals, m, plus, n. On lit que p, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, start color #7854ab, 7, end color #7854ab
Vous pouvez vérifier en lisant les graphiques que pour tout x, p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis

A vous !

Exercice 3

Ci dessous les courbes représentatives des fonctions f et g :
Une valeur approchée de f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 3, right parenthesis est ...
Choisissez une seule réponse :

Et les trois autres opérations ?

Jusqu'ici nous n'avons traité que des fonctions sommes, mais on peut aussi définir la différence, le produit ou le quotient de deux fonctions.
Par exemple si f et g sont les fonctions telles que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 3 et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 2, on peut définir la fonction somme f, plus, g, mais aussi...,
...la fonction différence
(f−g)(x)=f(x)−g(x)=(x+3)−(x−2)       =x+3−x+2             on a retireˊ les parentheˋses=5                                  on a reˊduit les termes semblables\begin{aligned}(f-g)(x)=f(x)-g(x)&=(x+3)-(x-2)~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=x+3-x+2~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{on a retiré les parenthèses}}}\\\\ &=5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{on a réduit les termes semblables}}}\end{aligned}
...la fonction produit
(fg)(x)=f(x)×g(x)=(x+3)(x−2)            =x2−2x+3x−6        on a deˊveloppeˊ=x2+x−6                   on a reˊduit les termes semblables\begin{aligned}(fg)(x)=f(x)\times g(x)&=(x+3)(x-2)~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=x^2-2x+3x-6~~~~~~~~\small{\gray{\text{on a développé}}}\\\\ &=x^2+x-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{on a réduit les termes semblables}}}\end{aligned}
...et la fonction quotient.
(f÷g)(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x−2)                     \begin{aligned}(f\div g)(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
Et on a créé trois nouvelles fonctions !

Un dernier exercice

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, plus, 2
q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 1
r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t
Calculer p, left parenthesis, 3, right parenthesis, times, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, times, r, left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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