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Le sens de variation d'une fonction

Sens de variation d'une fonction et signe de sa dérivée.

Comment déterminer le sens de variation d'une fonction ?

La fonction f est croissante sur l'intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket équivaut à f, prime est positive sur l'intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket. La fonction f est décroissante sur l'intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket équivaut à f, prime est négative sur l'intervalle open bracket, a, space, ;, b, close bracket.
Donc, pour déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante, on calcule la dérivée de la fonction et on étudie son signe.
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Exemple 1

Soit à étudier le sens de variation de la fonction polynôme définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7. On calcule sa dérivée :
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 9
Il faut étudier le signe de f, prime.
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
f, prime s'annule en minus, 3 et en 1. Elle est de signe constant sur chacun des intervalles close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 3, open bracket, close bracket, minus, 3, space, ;, 1, open bracket et close bracket, 1, space, ;, plus, ∞, open bracket.
Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis pour connaître le signe de f, prime sur l'intervalle.
IntervalleValeur de xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusion
close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 3, open bracketx, equals, minus, 4f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f est croissante. \nearrow
close bracket, minus, 3, space, ;, 1, open bracketx, equals, 0f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0f est décroissante. \searrow
close bracket, 1, space, ;, plus, ∞, open bracketx, equals, 2f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0f est croissante. \nearrow
f est croissante sur close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 3, open bracket et sur close bracket, 1, space, ;, plus, ∞, open bracket et elle est décroissante sur close bracket, minus, 3, space, ;, 1, open bracket

Exemple 2

Soit à étudier le sens de variation de la fonction polynôme définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 3, x, start superscript, 5, end superscript. On commence par calculer f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis.
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 15, x, start superscript, 4, end superscript
Il faut étudier le signe de f, prime.
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, 4, end superscript, left parenthesis, 2, x, minus, 5, right parenthesis
f, prime s'annule en 0 et en start fraction, 5, divided by, 2, end fraction. Elle est de signe constant sur chacun des intervalles close bracket, minus, ∞, space, ;, 0, open bracket, close bracket, 0, space, ;, 5, slash, 2, open bracket et close bracket, 5, slash, 2, space, ;, plus, ∞, open bracket.
Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis pour connaître le signe de f, prime sur l'intervalle.
IntervalleValeur de xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusion
close bracket, minus, ∞, space, ;, 0, open bracketx, equals, minus, 1f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, 21, is less than, 0f est décroissante. \searrow
close bracket, 0, space, ;, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, open bracketx, equals, 1f, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0f est décroissante. \searrow
close bracket, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, space, ;, plus, ∞, open bracketx, equals, 3f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 243, is greater than, 0f est croissante. \nearrow
f est décroissante si x, is less than, 0 et si x, is greater than, 0, donc f est aussi décroissante en 0.
Donc f est décroissante sur l'intervalle close bracket, minus, ∞, space, ;, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, open bracket et elle est croissante sur l'intervalle close bracket, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, space, ;, plus, ∞, open bracket

À vous !

Exercice 1
h est la fonction définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 3, x, squared, plus, 9
Sur quel(s) intervalle(s) la fonction h est-elle décroissante ?
Choisissez une seule réponse :
Choisissez une seule réponse :

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