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Le théorème des accroissements finis appliqué à une fonction polynôme

Transcription de la vidéo

on te donne cette fonction f 2 x qui est un trinôme du second degré et qu'on a défini sur un domaine limité à l'intervalle allant de 2 à 5 inclus ensuite on te demande de trouver un nombreux c'est pour lequel le taux de variation de moyens de la fonction f sur cet intervalle allant de deux à cinq est égal à f primes de ses allées je t'invite à faire pause et faire un petit effort pour résoudre cet exercice par toi même alors l'idée c'est d'abord de trouver le taux de variation moyen de f sur l'intervalle allant de 2 à 5 ça c'est un calcul assez simple à faire et ensuite de résoudre f prime de c est égal à ce taux de variation moyens et lorsqu'on arrive on aura résolu cette équation on aura trouvé cette valeur de ces alors allons-y d'abord le taux de variation moyen de f sur l'intervalle allant de deux à cinq il s'agit de la différence désordonnée f25 - f-22 / la différence des abscisses 5 - 2 et ça ça nous donne le coefficient directeur de la droite qui rejoint les points de coordonner sein de f/2 2 et 5 f 2,5 très bien et ça c'est égal à quoi alors f 2,5 c'est égal à 5 au carré 25 - 6 x 5 30 + 8 - f2 qui est égal à 2 au carré 4 - 2 x 6 12 +8 que je divise par trois et ça ça me donne quoi ici j'ai 25 - 30 - 5 + 8 ça me donne trois mois -5 +8 oui ça me donne 3 et ici j'ai quoi j'ai 4 - d'où ça fait moins huit +80 donc j'ai 3 - 0 qui est égal à 3 donc j'ai trois sur trois qui est égal à 1 1 et le taux de variation moyen de f sur l'intervalle allant de 2 à 5 maintenant exprimons af primes de x parce qu'après on a envie de résoudre l'équation f prime de c est égal à 1 les primes de x et hey al akwaa galates 2x moins six facile de x -6 donc trouver ces tels que f prime de c est égal au taux de variation moyen de f donc être prime de c est égal à 1 c'est résoudre l'équation de ces -6 est égal à 1 ce qui est équivalent à dire que c est égal à 1 +67 divisé par deux c est égal à 7 2 me ou encore c est égal à 3,5 voilà la réponse finale à deux problèmes je ne vais pas m'arrêter là je vais aussi te donner une une visualisation de la solution à ce problème parce qu'il faut aussi voir à quoi ressemble le dessin la courbe représentatif de f et la visualisation de sa valeur moyenne et la visualisation de f prime de ces pour bien comprendre ce qui s'est passé ici alors je vais d'abord tracé f 2 x et pour tracer fdx le moyen le plus simple c'est de trouver d'abord la kz2 symétrie de notre parabole et ça ça arrive à pour la valeur x est égal à - b sur deux a c'est à dire 6 / 2 c'est à dire 3 donc on à laax de symétrie de notre parabole qui se situe ici pour x est égal à 3 et f2 3 est égal à quoi f 2 3 est égal à 3 au carré 9 - trois fois 6 donc 9 - 18 ça fait moins neuf +8 ça fait moins en f2 3 est égal à -1 donc le sommet de ma parabole est ici je sais par ailleurs que f-22 est égal à zéro ça j'avais calculé ici f-22 égal 0 donc je connais je sais que ce point et sur la parabole ce point également et vu qu'on a une parabole est symétrique par rapport à cet axe là j'ai aussi f24 qui doit être égale à zéro et je sais aussi que f25 est égal à 3 je l'avais calculer un peu plus tôt ici donc ici si on a trois ce point là et sur la parabole également et donc voilà la courbe représentative de fgx et comment est ce que je trouve sur ce graphique comment est ce que je représente visuellement le taux de variation moyen de m entre 2 et 5 eh bien je trace cette droite qui fait le lien entre les deux bornes de la courbe et le coefficient directeur de cette droite et mon taux de variation moyens et effectivement on alors ce que j'avance d'unités je monte d'une unité donc le coefficient directeur de cette droite est bien un et à présent comment est ce que je trouve cette valeur de ces pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à cette droite et bien je me balade sur la sur la courbe et j'essaie de voir quand est ce que la tangente est parallèle à la droite et il semble que ce soit quelque part entre ici et ici ouais il semble que je sais c'est plutôt par c'est plutôt ici donc là je fais ça très approximativement mais il semble que lorsque x est égal à cette valeur j'obtiens la tangente à la courbe une tangente à cette courbe parallèle à ma droite verte et effectivement c'est pour x est égal à 3,5 que j'obtiens cette tangente parallèle à la droite vers donc je suis assez confiant avec la réponse que j'avais déjà trouvé c est égal à 3,5