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Règle de L'Hospital - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

La règle de L'Hospital

La règle de L'Hospital permet de lever des indéterminations du type start fraction, 0, divided by, 0, end fraction ou start fraction, infinity, divided by, infinity, end fraction.
Autrement dit, elle permet de déterminer limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, si lorsque x tend vers c, u, left parenthesis, x, right parenthesis ET v, left parenthesis, x, right parenthesis tendent vers 0 ou vers plus minus, infinity. \operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}
Selon cette règle, si la limite limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction existe, alors :
limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction

La règle de l’Hospital pour déterminer la limite d'un quotient

On veut déterminer limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction.
Lorsque x tend vers 0, le numérateur et le dénominateur de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction tendent vers 0. On obtient la forme indéterminée start fraction, 0, divided by, 0, end fraction. On va utiliser la règle de l’Hospital.
D’apreˋs la reˋgle de L’Hospital,   limx07xsin(x)x2+sin(3x)=limx0[7xsin(x)][x2+sin(3x)]limx07cos(x)2x+3cos(3x)=7cos(0)2×0+3cos(3×0)=2=\begin{aligned} &\operatorname{}{\text{D'après la règle de L'Hospital, }~~}\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{7x-\sin(x)}{x^2+\sin(3x)}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{}[7x-\sin(x)]'}{\operatorname{}[x^2+\sin(3x)]'} \\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{7-\cos(x)}{2x+3\cos(3x)}=\dfrac{7-\cos(0)}{2×0+3\cos(3\times0)}\gray{\text{}}=2 \phantom{=}\qquad\qquad\end{aligned}
D'après ce calcul, limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, open bracket, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, prime, divided by, open bracket, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, close bracket, prime, end fraction, equals, 2, donc la limite de f, left parenthesis, x, right parenthesis quand x tend vers 0 est égale à 2.
Exercice 1.1
  • Actuelle
limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, e, start superscript, x, end superscript, minus, 1, divided by, 2, x, end fraction, equals, space, question mark
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

La règle de l’Hospital pour déterminer la limite d'une fonction exponentielle

On doit déterminer limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript. Lorsque x tend vers 0, on obtient la forme indéterminée 1, start superscript, start superscript, plus, infinity, end superscript, end superscript.
Au lieu d'étudier directement la limite de l'expression donnée, on étudie celle de son logarithme népérien. Autrement dit si y, equals, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript, on va d'abord calculer limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis. et on en déduira limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y
natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
Lorsque x tend vers 0, le numérateur et le dénominateur de start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction tendent vers 0. On obtient la forme indéterminée start fraction, 0, divided by, 0, end fraction. Pour lever cette indétermination, on utilise la règle de L’Hospital.
=limx0ln(y=limx0ln(1+2x)sin(x)limx0[ln(1+2x)][sin(x)]=limx0(21+2x)cos(x)=(21)1=2\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin(x)} \\\\ &\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{}{}[\ln(1+2x)]'}{\dfrac{}{}[\sin(x)]'}\gray{}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\left(\dfrac{2}{1+2x}\right)}{\cos(x)}=\dfrac{\left(\dfrac{2}{1}\right)}{1}\gray{}=2 \qquad\qquad\end{aligned}
limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, 2, donc limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y, equals, e, squared.
Exercice 2.1
  • Actuelle
limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, open bracket, cosine, left parenthesis, 2, pi, x, right parenthesis, close bracket, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction, end superscript, end superscript, equals, space, question mark
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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