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Analyse de problèmes de taux de variation dans des situations concrètes

Le calcul différentiel est intimement lié au taux de variation instantané d'une fonction. Voyons comment l'utiliser dans des problèmes concrets.
Que signifie concrètement la phrase "f(k) est le taux de variation instantané de f en k" ?
Voici un premier exemple. On remplit un réservoir. La fonction V1 qui donne le volume d'eau (en L) dans le réservoir en fonction de la durée (en secondes) est définie par V1(t)=23t. Voici sa droite représentative :
Le taux de variation de cette fonction est 23, ce qui signifie que l'on remplit le réservoir au rythme de 23 litres par seconde.
Dans le cas d'une fonction affine les choses sont simples car son taux de variation est constant.
On examine maintenant le cas où la fonction V2 qui donne le volume d'eau (en L) dans le réservoir en fonction de la durée (en secondes) est définie par V2(t)=0,1t2. Voici sa courbe représentative :
V2 est une fonction du second degré. Son taux de variation n'est pas constant.
Il faut donc considérer le taux de variation de la fonction V2 en un instant donné, c'est le taux de variation de la fonction en un point donné. Le taux de variation instantané d'une fonction est la dérivée de cette fonction.
V2(t)=0,2t
Par exemple, V2(5)=1. Cela signifie que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction V2 au point d'abscisse 5 est 1. Qu'est-ce que cela signifie dans ce contexte ?
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de V2 au point d'abscisse 5 est la valeur de la fonction dérivée V2 en 5, donc V2(5)=1 signifie que :
À t=5 secondes, c'est à dire 5 secondes après le début du remplissage, le réservoir est rempli au rythme de 1 litre par seconde.
On peut faire deux remarques importantes :
V2 est la fonction qui à la durée, en secondes, fait correspondre le volume d'eau dans le réservoir, donc V2, c'est-à-dire le rythme auquel augmente le volume d'eau à l'instant t, s'exprime en litres par seconde.
Le rythme de remplissage est donné en un instant précis (par exemple 5 secondes après le début du remplissage). C'est un taux de variation instantané. En prenant un autre instant, ce rythme de remplissage peut être différent. En considérant un intervalle de temps, on constate que ce rythme de remplissage n'est pas constant.
Exercice 1.A
Voici le contexte du problème 1 :
Lina rentre de l'école à pied. Soit D la fonction qui à la durée t écoulée depuis son départ, en minutes, fait correspondre la distance parcourue, en mètres.
D(t) est exprimée en :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
On a planté un arbre. Soit H la fonction qui à la durée t écoulée depuis sa plantation, en semaines, fait correspondre la hauteur de l'arbre, en centimètres.
On a demandé à quatre élèves de donner la signification de H(5)=3 dans ce contexte.
Remettre les commentaires du professeur dans le bon ordre.
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Erreur courante : oublier d'indiquer l'unité ou faire une erreur d'unité

Rappelez-vous : Lorsque vous devez résoudre des problèmes dans des contextes concrets, n'oubliez pas qu'il faut toujours indiquer les unités.
Par exemple, dans le problème 2, H est la fonction qui à la durée exprimée en semaines associe la hauteur exprimée en centimètres. Sa dérivée H est une fonction qui à la durée exprimée en semaines associe le rythme de croissance exprimé en centimètres par semaine.

Une autre erreur courante : faire référence à « un intervalle de temps » plutôt qu'à « un instant donné »

Une dérivée est un taux de variation instantané. Donc, lorsque nous interprétons la valeur d'une dérivée, nous devons toujours nous référer à l'instant spécifique où ce taux s'applique.

Résoudre des problèmes qui impliquent le taux de variation instantané

Soit le problème suivant :
Charles a pris un cachet d'antalgique. On appelle M la fonction qui au nombre t d'heures après la prise du cachet fait correspondre la masse, en milligrammes, d'antalgique encore présente dans son sang.
M(t)=20×e0,8t
Quel est le taux de variation instantané de la quantité d'antalgique dans le sang 1 heure après la prise du cachet ?
La première chose qui doit nous venir à l'esprit en lisant ce problème est qu'on nous demande le taux de variation instantané d'une quantité modélisée par une fonction, ce qui signifie que nous devons utiliser la dérivée de cette fonction.
Nous devons utiliser la dérivée de la fonction M. En effet, M est la fonction qui au nombre au nombre d'heures écoulées depuis la prise du cachet fait correspondre la masse d'antalgique présente dans le sang, et on nous demande le taux de variation instantané de cette masse.
M(t)=16×e0,8t
On cherche le taux de variation instantané de la quantité d'antalgique dans le sang 1 heure après la prise du cachet, donc on doit calculer M(1) :
M(1)=16×e0,87,2
Enfin, n'oublions pas de préciser l'unité. Comme M est la fonction qui au nombre d'heures après la prise du cachet fait correspondre la masse, en milligrammes, d'antalgique présente dans le sang, M(t) correspond à des milligrammes par heure.
En conclusion, le taux de variation instantané de la quantité d'antalgique dans le sang une heure après la prise du cachet est de 7,2 milligrammes par heure.
Exercice 3
La fonction C fait correspondre à la masse w (en kilogrammes) de documents son coût de déchiquetage (en euros).
C(w)=0,001w30,15w2+7,5w
Quel est le taux de variation instantané du coût de déchiquetage de 10 kilogrammes de documents ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Erreur commune : Utiliser la fonction donnée au lieu de sa dérivée

Rappelez-vous : Quand on nous demande le taux de variation d'une fonction f, on détermine sa dérivée f. Calculer f à un instant précis nous donne aucune information sur le taux de variation de f en cet instant.

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