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Cours : 5e année secondaire - 6 h > Chapitre 6 

Leçon 9: La dérivée d'une fonction composée

Dérivée d'une fonction composée

.
La formule de dérivation de la fonction composée u suivie de v est :
(vu)(x)=[v(u(x))]=v(u(x))u(x)
Elle permet de calculer la dérivée d'une fonction composée.

Retour sur les fonctions composées

Une fonction est une fonction composée u suivie de v si on peut l'écrire sous la forme v(u(x)).
Par exemple, la fonction f telle que f(x)=cos(x2) est une fonction composée car si v et u sont les fonctions définies par v(x)=cos(x) et u(x)=x2, alors f(x)=cos(x2)=v(u(x)).
C'est la fonction composée u suivie de v, car on applique d'abord la fonction u, puis la fonction v,
f(x)=cos( x2u(x) )v(u(x))
Attention si f est la fonction définie par f(x)=cos(x)×x2, alors f n'est pas une fonction composée. C'est la fonction produit des fonctions u et v définies par v(x)=cos(x) et u(x)=x2.
Exercice 1
La fonction g définie par g(x)=ln(sin(x)) est-elle une fonction composée ? Si oui, quelle est celle des deux premières propositions qui est vraie ?
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : Ne pas voir que la fonction est une fonction composée.

Si on ne voit pas que la fonction à dériver est une fonction composée, il n'est pas possible de calculer sa dérivée sans erreur.
Mais attention à ne pas confondre fonction produit et fonction composée. et à ne pas appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée à une fonction produit.
C'est une confusion que les élèves font souvent s'il s'agit d'une fonction trigonométrique ou d'une fonction logarithme. La fonction xln(sin(x)) est une fonction composée, alors que la fonction xln(x)sin(x) est une fonction produit.
Exercice 2
La fonction h définie par h(x)=cos2x est-elle une fonction composée ? Si oui, quelle est celle des deux premières propositions qui est vraie ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Autre erreur fréquente : mal identifier les fonctions u et v

Si f est la fonction u suivie de v, il ne faut pas faire d'erreur dans l'identification de u et de v.
Par exemple, si f est la fonction définie par f(x)=cos2x, alors f est la fonction composée u suivie de v avec v(x)=x2 et u(x)=cosx. Beaucoup d'élèves font la faute de poser v(x)=cosx.

Un exemple d'application de la formule de dérivation d'une fonction composée

Soit la fonction h définie sur par h(x)=(56x)5. h est la fonction composée u suivie de v :
h(x)=( 56x )5 u(x)=56xet v(x)=x5
On applique la formule :
[v(u(x))]=v(u(x))×u(x)
On multiplie l'image de u(x) par la fonction v par u(x)
On calcule u(x) et v(x).
u(x)=6v(x)=5x4
Puis :
[v(u(x))]=v(u(x))×u(x)=5(56x)4×(6)=30(56x)4

A vous

Exercice 3.A
Soit la fonction f:x sin(2x34x).
La fonction f définie par f(x)=sin(2x34x) est la composée u suivie de v, avec :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
[cos(x)]=?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Exercice 5
xf(x)h(x)f(x)h(x)
19156
23116
G(x)=f(h(x))
G(2)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Exercice 6
Voici comment Camille a calculé la dérivée de f(x)=(2x24)3
1 : Si on pose v(x)=x3 et u(x)=2x24, alors (2x24)3=v(u(x)).
2 : v(x)=3x2
3 : La dérivée est v(u(x)) :
[(2x24)3]=3(2x24)2
A-t-elle fait une erreur ?
Choisissez une seule réponse :

Une erreur fréquente : oublier de multiplier par la dérivée de la fonction u

L'erreur la plus fréquente est de calculer v(u(x)) et non v(u(x))u(x).

Autre erreur fréquente : calculer v(u(x))

Une autre erreur fréquente est de calculer v(u(x)) pour obtenir la dérivée de v(u(x)).
Ce n'est pas v(u(x)) qu'il faut calculer mais v(u(x)).
A retenir : La dérivée de v(u(x)) est v(u(x))u(x). Ce n'est ni v(u(x)), ni v(u(x)).

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