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Cours : 5e année secondaire - 6 h > Chapitre 6 

Leçon 9: La dérivée d'une fonction composée

Dérivation d'une fonction composée avec une fonction puissance

Un exemple où l'on dérive la fonction (2x³+5x²-7)⁸ à l'aide des règles de dérivation des fonctions composées et des fonctions puissances.

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Transcription de la vidéo

bonjour je te propose d'essayer de calculer la dérive et de cette fonction-là 2x puissance 3 + 5 x au carré - 7 le taux élevé à l'appui sans suite alors comme d'habitude essaye de ton côté en mettant la vidéo sur pause et dès que tu a réfléchi et peut-être trouvé la solution on se retrouve alors la clé ici c'est de reconnaître que notre fonction c'est une fonction composé gelée indique un petit peu avec les couleurs ici pour t'aider et une fois que tu as réalisé que c'était une fonction composé après ce qui est important c'est de bien comprendre quelles sont les fonctions qui composent notre fonction f alors pour ça en fait je le dis souvent ce qu'il faut faire c'est regarder dans quel ordre ont fait les opérations je vais faire un petit diagramme ici on part d'un nombreux x et si on veut calculer l'image paref de ce nombre x est bien la première chose qu'on doit faire ses calculs et ce qu'il ya ici dans la parenthèse donc ça ça revient à mettre x dans une fonction calculé l'image de x par une certaine fonction que j'appelle une voilà et cette fonction là en fait ce qu'elle fait c'est à chaque fois que tu lui mets quelque chose dedans que tu dure entre une valeur eh bien elle calcule deux fois cette valeur au cube plus cinq fois cette valeur au carré - 7 elle calcule tout ça avec la valeur x que tu lui as rentrée donc ce qui va sortir de la boîte fonction eu un si tu veux on peut le dire comme ça c'est le nombre une ax u 2 x c'est-à-dire en fait cette chose là calculé avec x donc le résultat du calcul 2x au cube + 5 x au carré - 7 puisque là je rentre x dans ma fonction et ce qui en sort c'est l'image de x qui est 2x occupe plus 5 x au carré - 7 ensuite c'est pas terminé puisque on doit élever toute cette quantité là à l'appui sans suite et ça ça revient à rentrer dans une nouvelle fonction à rentrer cette valeur là en fait dans une nouvelle fonction qui est celle là je vais l'appeler v est en fait cette fonction-là ce qu'elle fait c'est élever le nombre qu'on lui rentre à la puissance suite donc c'est la fonction puissent ensuite elle prend ce qu'on lui donne et le calcul ce nombre-là élevé à l'appui sans suite donc ce qui va ressortir de cette fonction là même nom et bien c'est l'image de tout ce nombre là qu'on va rentrer dans la fonction par la fonction vais donc en fait ça va être v2 2 x au cube de u2 x voilà j'espère que tu comprends que notre fonction est en fait elle comprend tout ça elle fait tout ce travail là tout ça c'est notre fonction f ici donc on lui rentrer un nombre x est ce qui nous sort cv de u2 x alors si tu veux je peux l'écrire comme ça ça serait donc v de u2 x c'est tout ça toute cette quantité là je vais l'écrire comme ça 2x au cube + 5 x au carré - 7 et comme la fonction v elle consiste à élever à l'appui sans suite ce qu'on lui met dedans et bien finalement ça c'est égal à 2 x alors je vais l'écrire comme ça 2 x au cube + 5 x au carré - 7 le tout est levée à la puissance 8 es tu vois qu'on retrouve exactement l'expression qui était donnée ici donc la morale de l'histoire c'est que notre fonction f je peux l'écrire comme ça c'est v de u2 x est donc là on voit bien que c'est une fonction composer et je vais même préciser pour que ce soit très clair qui sont les fonctions usb donc eu 2 x on a dit que c'était la fonction qui a x associe le nombre 2x au cube + 5 x au carré - 7 et la fonction v c'est la fonction qui associe à un nombre x n'importe lequel le nombre x élevé à l'appui sans suite alors maintenant on va appliquer la règle de dérivation des fonctions composer on sait que f primes de x d'après la formule que tu as vu dans ton cours eh bien ça va être la dérive et devait donc v prime calculée non pas en six là il faut faire attention au calcul des primes en une 2 x suite on multiplie sa part la dérive et de u2 x donc eu prime 2 x alors je vais calculer les dérivés de hu et les dérivés devait la dérive et de u u primes de x donc là c'est la dérive et de 2x occupe plus la dérive et 2 5x au carré - la dérive est de 7 donc ça va faire la dalle et 2x occupe c'est une fonction puissance ça fait 2 fois 3 c'est à dire 6 x x au carré + 5 x 2 c'est à dire 10 x x élevé à la puissance 1 - la dérive et de sète qui est égal à zéro donc c'est tout ça c'est une prime de x et puis il fait prime 2x et bien c'est 8x élevé à la puissance 7 1 tasse et des règles de dérivation de fonctions puissance que tu dois connaître si tu les connais pas je t'engage vraiment aller regarder des vidéos là dessus sur la khan academy parce que cette servira sans arrêt et donc maintenant je vais remplacer tout ça dans l'expression qui est donnée ici de f primes de x donc f primes de x c'est donc védrine de u2 x alors ici gvt et primes de x mais moi je dois remplacer x paru de x donc je vais l'écrire comme ça v prime de u2 x des primes de hull 2 x en fait ces huit fois u2 x à la puissance 7 donc ça je peux l'écrire ici ça me donne huit fois u2 x élevé à la puissance 7 alors eu 2 x je vais l'écrire en entier donc je vais avoir eu 2 x élevé à la puissance 7 avec u2 xkey donc 2 x au cube + 5 x au carré - 7 donc ça c'est ce terme là un tout ça ici et maintenant je dois x eu primes de x qui est égal à 6 x o car est plus 10 x donc ça je dois le x 6 x au carré plus 10 x voilà là on a terminé cette expression là que j'encadre ça c'est bien f primes de x alors on pourrait essayer de développer savez ça serait vraiment pas une bonne idée parce que ça ferait des calculs vraiment presque un faisable beaucoup trop compliqué d'autant plus qu'en général quand on calcule une dérive et c'est le plus souvent pour étudier son signe et donc il vaut mieux avoir quelque chose de factoriser le plus possible en tout cas la clé ici je vais conclure un petit peu là dessus c'est de reconnaître qu'on a une fonction composer et dans ce cas là on applique la formule des fonctions composer et pour faire ce genre de diagrammes là et quand même bien utile ça correspond vraiment à regarder dans quel ordre il faut faire les opérations pour calculer l'image de x par la fonction f qui est ici et ensuite une fois que tu reconnu ce diagramme lac avec l' usage du 2 passera de faire un tueur a plus besoin de faire et bien tu calcules la dérivée de la fonction qui est à l'extérieur ici c'est la puissance 8 calculé en la fonction qui à l'intérieur et ensuite tu multiplies par la dérivée de la fonction qui à l'intérieur c'est ça la règle de dérivation des fonctions composer