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Cours : 5e année secondaire - 6 h > Chapitre 6 

Leçon 3: Nombre dérivé et dérivabilité

Tangente à une courbe et nombre dérivé

.

Introduction

Le premier objet de cette leçon est de relier le taux de variation d'une fonction sur un intervalle [a ;b] et le coefficient directeur de la sécante à sa courbe représentative aux points d'abscisses a et b. Son deuxième objet est le relier le nombre dérivé de la fonction en c et le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative au point d'abscisse c.

Sécante et tangente à une courbe

Soient deux points distincts P(x0 ;y0) et Q(x1 ;y1) de la courbe représentative de la fonction f, la droite passant par ces deux points est appelée sécante à la courbe de f en P et Q. Le coefficient directeur de cette sécante vaut :
msec=y1y0x1x0=f(x1)f(x0)x1x0.
Quand l'abcisse x1 est proche de x0, le point Q sera proche du point P. Le coefficient directeur des sécantes (PQ) va tendre vers le coefficient directeur de la tangente à la courbe en P. La tangente est la position limite de ces sécantes. Son coefficient directeur est égal à la limite quand x1 tend vers x0 du coefficient directeur des sécantes :
mtan=limx1x0f(x1)f(x0)x1x0.
Si on pose h=x1x0, alors x1=x0+h et h0 quand x1x0. Le coefficient directeur de la tangente s'écrit alors :
mtan=limh0f(x0+h)f(x0)h.
Si la limite existe, sa valeur mtan est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point P(x0 ;y0).

Exemple 1

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=x3 au point de coordonnées (2 ;8) ?

Solution

On remplace (x0 ;y0) par (2 ;8) dans la formule du coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point :
mtan=limh0f(x0+h)f(x0)h
on obtient :
mtan=limh0f(2+h)f(2)h=limh0(h3+6h2+12h+8)8h=limh0h3+6h2+12hh=limh0(h2+6h+12)=12.
Donc, le coefficient directeur de la tangente est 12. Une équation de la droite de coefficient directeur mtan qui passe par le point de coordonnées (x0;y0) est :
yy0=mtan×(xx0).
Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse 2 est :
y8=12×(x2)
qui s'écrit encore :
y=12x16.

Le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque

Maintenant, nous allons définir le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque de la courbe représentative d'une fonction f. Pour cela, on remplace la constante x0 par la variable x dans la formule précédente :
mtan=limh0f(x+h)f(x)h.
Par définition, cette limite est le nombre dérivé de f en x, noté f(x) :
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h,
f(x) se lit "f prime de x".

Exemple 2

Si f(x)=x23, déterminer f(x). Utiliser ce résultat pour calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x=2 et au point d'abscisse x=1.

Solution

Par définition,
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h,
alors
f(x)=limh0[(x+h)23][x23]h=limh0x2+2xh+h23x2+3h=limh02xh+h2h=limh0(2x+h)=2x.
Pour calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe en x=2 on remplace x par 2 dans l'expression de f(x). On fait de même pour x=1. On obtient :
f(2)=2×2=4
et
f(1)=2×(1)=2.
Les coefficients directeurs des tangentes à la courbe au point d'abscisse 2 et au point d'abscisse 1 sont respectivement 4 et 2.

Exemple 3

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation y=1/x au point de coordonnées (1 ;1) ?

Solution

On utilise la formule :
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h
On remplace f(x) par 1/x
f(x)=limh0(1x+h)1xh=limh0x(x+h)x(x+h)h=limh0xxhhx(x+h)=limh0hhx(x+h)=limh01x(x+h)=1x2.
En remplaçant x par 1 :
f(1)=1(1)2=1.
Donc, le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'équation y=1/x au point d’abscisse 1 est m=1. Une équation de la droite de coefficient directeur m qui passe par le point de coordonnées (x0 ; y0) est :
yy0=m×(xx0),
ici (x0 ;y0)=(1 ;1). Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 est :
y1=1×(x1)y=x+1+1y=x+2.

Vitesse moyenne

La vitesse moyenne est égale au taux de variation de la fonction qui à la durée fait correspondre la distance parcourue. Si une voiture parcourt 120 kilomètres en 4 heures, sa vitesse moyenne est :
120 km4 heures=30 km/h.
Cette vitesse est sa vitesse moyenne. Mais si la vitesse moyenne de la voiture au cours des 4 heures du trajet a été de 30 km/h, cela ne signifie pas qu'elle a roulé à la vitesse constante de 30 km/h.
Si par malheur la voiture est entrée en collision avec une autre voiture au cours du trajet l'ampleur des dégâts n'est pas fonction de la vitesse moyenne de la voiture ; elle est fonction de sa vitesse à l'instant de la collision. Il y a deux types de vitesse, la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.
La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du parcours :
v=xt=x1x0t1t0
Si on considère la courbe représentative de la  fonction qui à la durée fait correspondre la distance parcourue, la vitesse moyenne est aussi le coefficient directeur de la sécante à cette courbe qui passe par les points de coordonnées (t0,x0) et (t1,x1) :
Figure 1. Le coefficient directeur de la sécante à la courbe est la vitesse moyenne de la voiture sur l'intervalle.
La vitesse moyenne entre les instants t0 et t1 est donc le coefficient directeur de la sécante qui passe par les points de coordonnées (t0,x0) et (t1,x1). Si t1 est très proche de t0, alors la vitesse moyenne est très proche de la vitesse instantanée en t0.

Taux de variation

Le taux de variation d'une fonction f sur un intervalle est le coefficient directeur de la droite qui joint les points dont les abscisses sont les extrémités de cet intervalle. Le taux de variation instantané, c'est-à-dire le nombre dérivé, de f en une valeur donnée a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.

Taux de variation

Le taux de variation de f sur l'intervalle [x0,x1] est :
msec=f(x1)f(x0)x1x0
On a représenté ci-dessous la sécante à la courbe représentative def qui passe par les points de coordonnées (x0,f(x0)) et (x1,f(x1)). Le coefficient directeur de cette sécante est le taux de variation msec.
Figure 2. Le coefficient directeur de la sécante à la courbe est le taux de variation de la fonction sur l'intervalle.

Taux de variation instantané ou nombre dérivé

Le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, de f en x0 est :
mtan=f(x0)=limx1x0f(x1)f(x0)x1x0
On a représenté ci-dessous la tangente à la courbe représentative def au point de coordonnées (x0,f(x0)). Le coefficient directeur de cette tangente est le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, mtan.
Figure 3. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x0 est le taux de variation instantané, ou le nombre dérivé, de la fonction en x0.

Exemple 4

Soit la fonction définie par f(x)=x23.
(a) Calculer le taux de variation de f sur l'intervalle [0 ;2].
(b) Calculer le taux de variation instantané de f en x=1.

Solution

(a) On applique la formule du taux de variation avec f(x)=x23, x0=0 et x1=2 :
msec=f(x1)f(x0)x1x0=f(2)f(0)20=1(3)2=2
Le taux de variation de f sur l'intervalle [0,2] est égal à 2.
(b) Dans l'exemple 2, on a montré que f(x)=2x, donc
mtan=f(x0)=f(1)=2×(1)=2.
Le taux de variation instantané est négatif. La fonction est décroissante en x=1.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Vincent Bourhis
    Bonjour,
    Il manquerait des étapes d'explication par exemple dans l'exemple de la solution 3.
    En passant de la 1ere a la 2e ligne en ayant remplacer f(x) par 1/x
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      Bonjour,
      On remplace f(x) par 1/x car c'est l'équation de la courbe qui est donnée dans l'énoncé.
      Une courbe a toujours pour équation y=f(x) : c'est le lien entre
      - une fonction, définie par exemple par f(x)=1/x (pour trouver l'image de x par la fonction f, on calcule 1/x)
      - et sa courbe, formée de tous les points d'abscisse x et d'ordonnée y, cette ordonnée y valant f(x), l'image de x par la fonction f.
      J'espère que c'est plus clair...
      (2 votes)
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