Fonctions irrationnelles et forme indéterminée 0/0

alors on va essayer de calculer la limite quand x temps vers -1 de cette fonction-là x + 1 / racine carrée de x + 5 - 2 alors pour faire ça je pense que tu serais tenté d'utiliser les propriétés des limites que tu connais ici on a un quotient donc on sait que la limite d'un quotient et bien c'est le quotient des limites donc ça ça te conduirait à écrire ça comme ça limite quand x temps vers -1 2 x + 1 / la limite quand x temps vers -1 limite quand x temps vers -1 du dénominateur qui est racine carrée de x + 5 - 2 tout à fait juste tu pourrais continuer comme ça on va le faire du coup ici au numérateur on a une fonction qui en fait et continuent à la fonction x plus sain et continu sur tout l'ensemble des nombreux réel et donc en particulier les continuant x égales - 1 et du coup en fait pour calculer la limite de ce numérateur et bien il suffit de calculer l'image de -1 par cette fonction-là x + 1 donc ça serait moins 1 plus un ça c'est juste on calcule la valeur de la fonction x + 1 pour x égales - 1 et puis en dessous on y verra teurs on pourrait faire exactement le même raisonnement la fonction racine carrée de x + 5 - 2 n'est pas continu sur tout l'ensemble de nombreux réelle mais elle est continue pour x & gas 2 - 1 donc ici on pourrait aussi calculé l'image de -1 par cette fonction là et ça ça donnerait alors racine carrée de moins en plus 5 - 2 alors maintenant quand on fait nos calculs le numérateur ici il est égal à zéro moins un plus un ça fait zéro et puis en bas ici au dénominateur on à racine carrée de -1 +5 c'est-à-dire racine carrée de 4 c'est à dire 2 - 2 ça fait zéro aussi du coup tu vois que ce qu'on obtient je vais le mettre entre guillemets comme ça on obtient quelque chose qui serait 0 sur 0 et je le mets entre guillemets parce que tu as bien reconnu qu ici ce qu'on a en fait c'est une forme indéterminée un est donc là tu serais peut-être tentés d'abandonner de diab ne peut pas calculer cette limite elle n'existe pas effectivement si on avait zéro ici six îlots au numérateur on avait un nombre qui était pas égal à 0 / quelque chose qui tend vers zéro effectivement ça serait une limite infinie on pourrait le voir comme ça et donc dans ce cas là effectivement la limite de cette fonction-là n'existerait pas quand existe en vert - 1 mais ici quand on a zéro / 0 et bien c'est une forme indéterminée et ça ne veut pas nécessairement dire que cette limite là n'existe pas donc ce qu'il faut faire ici c'est aller un peu plus loin essayant fait de lever cette indétermination alors ce que je vais faire ici c'est m'occuper de cette expression là cette expression là je vais l'appeler g2x c'est une fonction que j'appelle g2x et donc c'est essentiellement ce qu'on doit réussir à faire ses calculs est la limite de g2x quand x temps vers -1 et pour ça je vais en fait transformé l'expression de g2x alors g2x je vais la réécrire ses x + 1 sur racine carrée de x + 5 - 2 alors quand on voit une expression de ce genre là avec racine carrée au dénominateur un réflexe c'est quand même d'essayer de se débarrasser de simplifier le dénominateur pour se débarrasser de la racine cas alors là il ya une technique qui est assez simple que tu vas rencontrer très souvent qui consiste en fait à multiplier le dénominateur et le numérateur par la quantité conjuguer ce qu'on appelle la quantité conjugués du dénominateur alors ça ça vient en fait de ce qu'on connaît bien qui est une identité remarquable qu'est la différence de carhaix on sait que a + b facteur de à - b c'est égal à awkar et - b au carré donc ça tu le sais c'est une identité remarquable mais ce qui est intéressant c'est que les valable pour n'importe quel nombre a et b et en particulier si à la place de âge mes racines carrées de à et bien ce que j'obtiens ses racines carrées de a + b facteur de racine carrée de à - b ça sera égal à racine carrée 2 à o car est donc à simplement - b au carré je veux en venir mais en tout cas on va se servir de ça pour essayer de simplifier un petit peu notre expression ici est donc ici j'ai racine carrée de x + 5 - 2 en fait j'aurai cette partie là un ici racine carrée de à - b donc je vais x racine carrée de a + b donc je vais faire ça comme ça en fait je vais prendre mon expression x + 1 sur racine carrée de x + 5 - 2 et je vais multiplier par la quantité conjuguer donc ici en fait je vais multiplier par sept partis la racine carrée de x + 5 plus de cette fois ci et puis au numérateur et bien la même chose à racine carrée de x + 5 plus deux comme ça évidemment je ne change pas la valeur de l'expression g2x et ce qui est intéressant ici c'est que du coup au numérateur g x + 1 facteur de racine carrée de x + 5 + 2 et au dénominateur c'est là que ça va être intéressant racine carrée de l'x +5 moins deux facteurs de racine carrée de x + 5 + 2 je retrouve exactement une expression de ce type là est donc je vais avoir racine carrée de x + 5 au carré c'est à dire x + 5 - 2 au carré c'est à dire 4 donc tu peux reprendre toutes ces étapes là si tu veux plus calmement cette partie là ici racine carrée de x + 5 - 2 c'est cette partie là et puis la partie là quand est ce que j'ai appelé la quantité conjuguer racine carrée de a + b je le retrouve ici alors maintenant je vais simplifier un petit peu cette expression là il ya quelques calculs que je peux faire au numérateur je peux rien faire donc je vais leur écrire x plus un facteur de racine carrée de x + 5 + 2 / alors au dénominateur gx + 5 - 4 c'est à dire x + 1 et là j'espère que tu te rends compte qu'il ya un facteur commun au numérateur et le dénominateur chi x + 1 donc je peux simplifiée en haut et en bas par x + 1 divisé en haut et en bas par x + 1 et j'obtiens une expression beaucoup plus simple qui est celle ci racine carrée de x + 5 plus de alors là tu es peut-être gêné par cette simplification que j'ai fait et si c'est le cas c'est très bien ça veut dire que tu as un sens aigü rien aiguisé de ce travail avec les fonctions cette expression l'ag de x n'est pas défini pour x égales - ainsi on remplace ici x par -20 le dénominateur va ça nul et donc la fonction j'ai n'est pas défini en x égales - 1 par contre celle ci elle est tout à fait défini en x également un saint donc ces deux fosses expression là en fait ne représente pas les mêmes fonctions pas exactement ce qu'il faut faire pour avoir exactement les mêmes fonctions il faut préciser que ça c'est vrai pour x différents 2 - 1 dans ce cas là et bien cette fonction la racine carrée de x + 5 + 2 n'est pas défini pour x égales - 1 puisque j'ai enlevé cette définition là ici donc elle a elle-même ensemble de définition que la fonction g et pour toute valeur de x dans cet ensemble de définition est bien la valeur de jets coïncide avec la valeur qui est écrite ici donc dans ce cas là avec cette précision là pour x différent de -20 et bien ces deux fonctions sont exactement les mêmes cela dit tu peux te dire encore que là ça va pas beaucoup nous aider puisqu'on devais calculer la limite de g2x quand x temps vers -1 et on a simplifié l'expression de g2x énormément mais on obtient toujours une fonction qui est pas défini pour x égales - 1 donc ça peut te paraître une mauvaise voie à suivre mais heureusement pour nous en fait cette fonction la racine carrée de x + 5 + 2 jeux peut la considérer comme une autre fonction celle là donc ça sera une fonction que je vais appeler f 2 x et elle est définie comme sa racine carrée de x + 5 + 2 et ce qui est intéressant c'est que celle là elle est définie pour x également tout à fait défini pour x égal moins un lait continue en ligue segal - un même donc si je doit calculer la limite de cette fonction en x égales - 1 eh bien je vais tout simplement calculé en fait l'image de -1 par cette fonction et ce qui est intéressant c'est que je sais que f 2 x est égal à g2x pour toutes les valeurs sauf pour x également un donc f 2 x égale g2x pour x différent de -1 est ce qu'on sait aussi c'est que si on a deux fonctions qui coïncide et bien leurs limites ils vont coïncider aussi donc ça ça implique que la limite quand x temps vers moins 20 de f2 x est égal la limite quand x temps vers -1 de g 2 x et je te rappelle que cette limite la limite quand x temps vers -1 2 g2x c'est la limite qu'on essaie de calcul et depuis tout à l'heure donc ici on a quelque chose d'intéressant puisque on sait que cette limite la limite de jets en moins 1 et bien elle est égale à la limite de f en moins ça alors ça ce que je viens de dire tout à l'heure c'est que cette fonction la sève de x elle est tout à fait défini et continue en moins 20 donc la limite quand x temps vers -1 2 f 2 x et bien cf 2 - 1 et f 2 - 1 ses racines carrées 2 - 1 + 5 c'est-à-dire racine carrée de 4 c'est à dire 2 + 2 ça fait donc 4 est donc là on arrive au bout de nos peines puisque ça veut dire que la limite quand x temps vers -1 2 g2x est égal à 4 voilà alors ce passage là n'est peut-être pas très claires en ce que je viens de faire ici avec cette fonction f je vais essayer de ré expliquer un petit peu en fait ces fonctions f et g coïncide sur leur ensemble de définition sauf pour la valeur x égales - 1 puisque g2x n'est pas défini mais en fait ça indique que cette fonction j'ai pourrait être prolongé à bhl par continuité en la valeur x égales - alors si tu veux je peux faire un petit dessin peut-être que ça clarifiera encore plus je vais faire un graphique un repère voilà et la courbe représentatif de g ça serait quelque chose qui est comme ça sauf que ici pour la valeur x égales - 1 on aurait un trou dans la courbe représentative je veux le matérialiser comme ça si tu veux ça serait un cercle creux ça c'est grossièrement la courbe représentative de g avec se trouve donc en x égal moins ici et si je veut tracer la courbe représentatif de f et bien en fait c'est exactement la même alors je vais le faire en orange c'est exactement la même la seule différence c'est que ici elle est définie en moins c'est ce point là et ensuite elle continue donc le travail qu'on a fait en fait c'est réécrire la fonction j'ai comme une fonction f pour faire apparaître ce prolongement possible par continuité c'est à dire pour faire apparaître une manière de compléter de remplir le trou qui a dans la courbe de g voilà donc j'espère que ça t'a aidé à comprendre un petit peu mieux ce qu'on a fait un passant avec cette fonction f si c'est pas le cas tu peux ignorer cette explication au géométriques