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Déterminer graphiquement la limite en un point

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La limite en un point et la valeur de la fonction en ce point peuvent être différentes. Regardez ce graphique :
Ci-dessus un graphique réalisé sur desmos.com pour étudier limx2x2x24.
Lorsque x se rapproche de 2 aussi bien par valeurs inférieures que par valeurs supérieures, son image par la fonction se rapproche de 0,25.
La fonction n'est pas définie en 2, mais sa limite quand x tend vers 2 existe et elle est environ égale à 0,25.
Gardez à l'esprit que le graphique permet de déterminer une valeur approchée d'une limite, mais pas toujours sa valeur exacte.

Exemples

Voici d'autres exemples.

La limite d'une fonction en un point est parfois égale à la valeur de la fonction en ce point.

Exercice 1
Étudier limx1g(x). Cette limite existe-t-elle ? Si oui, en donner une valeur approchée.
Choisissez une seule réponse :

Mais la limite d'une fonction en un point peut aussi être différente de la valeur de la fonction en ce point.

Voici un exemple.
Exercice 2
Étudier limx1g(x). Cette limite existe-t-elle ? Si oui, en donner une valeur approchée.
Choisissez une seule réponse :

A retenir : la limite en un point peut être différente de la valeur de la fonction en ce point.

De même, une fonction peut ne pas être définie en un point et avoir une limite en ce point.

En voici un exemple.
Cette courbe est celle de la fonction xx/sin(x). Elle n'est pas définie en 0, donc le point d'abscisse 0 est entouré d'un cercle vide.
On lit sur le graphique que lorsque x tend vers 0 aussi bien par valeurs inférieures que par valeurs supérieures, les valeurs de la fonction se rapprochent de 1, donc la limite de la fonction en 0 est égale à 1. La fonction n'est pas définie en 0, mais elle a une limite en 0.
Voici un exercice.
Exercice 3
Étudier limx4f(x). Cette limite existe-t-elle ? Si oui, en donner une valeur approchée.
Choisissez une seule réponse :

Idée-clé : La fonction n'est pas définie en 4, mais on peut lire sur le graphique ce que deviennent ses valeurs lorsque x se rapproche de 4 aussi bien par valeurs inférieures que par valeurs supérieures.

Une fonction peut être définie en un point et ne pas avoir de limite en ce point.

Voici une fonction définie par morceaux.
Exercice 4
Étudier limx3g(x). Cette limite existe-t-elle ? Si oui, en donner une valeur approchée.
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

N'hésitez pas à utiliser un grapheur ou une calculatrice graphique

Les logiciels de calcule formel, par exemple Desmos, ou les calculatrices graphiques sont très utiles pour étudier l'existence d'une limite et/ou en conjecturer une valeur approchée. Essayez avec ces deux limites :
limx0xsin(x)limx3x3x29
Dans les deux cas, la fonction n'est pas définie au point où on étudie sa limite, mais le graphique permet de voir que cette limite existe et permet aussi de conjecturer sa valeur.

Deux questions

Exercice 5
Est-il vrai que quelle que soit la fonction f et quel que soit le réel a, limxaf(x)=f(a) ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 6
Laquelle de ces affirmation est vraie ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

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